Чаганов: Война. Часть 3

- Кхм-кхм,- Колмогоров привычным движение приглаживает начинающие седеть жёсткие волосы,- математики ещё с конца прошлого века, можно вспомнить, например, Рэлея, догадывались, что стохастические процессы можно описывать дифференциальными уравнениями, и, соответственно, используя хорошо отработанный аппарат для решения последних, заниматься их исследованиями. Мы, кстати, с Иваном Георгиевичем Петровским, занимаясь 'цепями Маркова', также приложили к этому делу руку. Но ни у кого из математиков почему-то не возникло мысли использовать аппарат стохастических методов для приближённого решения интегральных уравнений. Нужды, видимо, не было, мы же не физики. Но всё изменилось, когда к нам на заседание в Академию наук пришёл Алексей Сергеевич и попросил помочь с решением многомерных интегралов, которые являлись решениями уравнений переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде...

'Помню, было... Когда? Да уж больше года назад, Колмогорова тогда ещё академиком не выбрали'.

- ... Я уже упомянул о том, что мы владеем хорошо отработанным аппаратом для интегрирования дифференциальных уравнений, но скромно умолчал о его недостатках, основным из которых является недостаточная универсальность основных методов решений. Так, способ разложения в ряд по собственным функциям практически не работает для тех дифференциальных уравнений в частных производных, где переменные не разделяются; интегральное преобразование Лапласа непригодно для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами; конформное отображение ничего не даёт для существенно трёхмерной задачи электростатики. Далее, крайне ограничен набор геометрических условий, для которых возможно решение задачи. Дело не идёт дальше шара, плоскости, эллипсоида и некоторых других правильных поверхностей. Даже сочетание простых, но разнородных поверхностей делает задачу неразрешимой. Классические численные методы исправляют часть этих недостатков, они не страшатся сложной геометрии, но чрезвычайно громоздки. Например, решение уравнения Лапласа в n-мерном пространстве сводится к решению n в степени n уравнений, причём оценка погрешности решения представляет собой намного более трудную процедуру, чем сам процесс решения...

'По полочкам всё раскладывает Андрей Николаевич. Учитель с большой буквы, однако'.

- ... Метод статистических испытаний, ('Монте-Карло') над которым мы сейчас работаем вместе с Александром Яковлевичем Хинчиным, свободен от всех этих недостатков. Идея применения метода для расчёта физико-математических задач сводится к эксплуатации двух сторон вероятностного процесса. С одной стороны его параметры можно выразить в виде математического ожидания случайных величин и их функций, то есть в виде формул с априорными вероятностями, а с другой - эти же параметры можно оценить экспериментально, расписав их в виде средних значений от наблюдаемых реализаций случайных величин. Последовательность решения задач методом статистических испытаний следующая: физическому явлению сопоставляется аналогичный вероятностный процесс, при этом доказывается, что искомые физические величины в точности равны математическим ожиданиям случайных величин вероятностного процесса; математические ожидания расписываются в виде статистических сумм с фиксированным числом слагаемых, являющихся реализациями случайных величин; определяется способ получения случайных реализаций; и производится численный счёт.