Человеческое познание его сферы и границы

Форма слов, содержащая неопределенную переменную, например «х есть мужчина», называется «пропозициональной функцией», если эта форма слов становится высказыванием, когда переменной приписывается какое-либо значение. В русских переводах книг по математической логике иногда вместо термина «пропозициональная функция» употребляется термин «функция-высказывание». Мы предпочитаем держаться ближе к оригинальному термину — prepositional function, Таким образом, «х есть мужчина» не является ни истинным высказыванием, ни ложным, но, если я вместо «х» поставлю «г-н Джоунз», я получу истинное предложение (высказывание), а если я поставлю «г-жа Джоунз», то получу ложное.

Помимо приписывания значения переменной «х», существуют два других способа получения предложения из пропозициональной функции. Один заключается в утверждении, что все предложения, полученные в результате приписывания значений переменной «х», истинны; другой состоит в утверждении, что по крайней мере одно из них истинно. Если «f(x)» есть функция, о которой идет речь, то мы назовем первое из этих утверждений «f(x) всегда», а другое — «f(x) иногда» (где подразумевается, что «иногда» значит «по крайней мере однажды). Если «f(x)» есть «х не есть человек» или «х смертен», то мы можем утверждать «f(x) всегда»; если же «f(x)» есть «х есть человек», то мы можем утверждать «f(x) иногда», что мы могли бы обычным способом выразить, сказав: «существуют люди». Если «f(x)» есть «Я встретил х» и «х есть человек», то «f(x) иногда» есть «Я встретил по крайней мере одного человека».

Мы называем «f(x) иногда» «экзистенциальным высказыванием», потому что оно говорит, что нечто, имеющее свойство f(x), «существует». Например, если бы вы захотели сказать: «Единороги существуют», — вы должны были бы сначала определить высказывание: «х есть единорог», а затем утверждать, что имеются такие значения х, для которых это высказывание является истинным. В обычном языке слова «некоторый», «один», «этот» указывают на экзистенциальные высказывания.

Существует один очевидный способ, с помощью которого мы получаем знание экзистенциальных высказываний, — это с помощью примеров. Если я знаю «f(a)», где о есть некоторый известный мне объект, то я могу вывести «f(x) иногда». Вопрос, который я хочу обсудить, заключается в том, является ли это единственным способом, с помощью которого мы можем прийти к знанию таких предложений. Я хочу показать, что этот способ не единственный.

В дедуктивной логике существует только два способа, посредством которых экзистенциальные высказывания могут быть доказаны. Одним из них является вышеприведенный, когда «f(x) иногда» выводится из «f(a)»; другой тот, когда одно экзистенциальное высказывание выводится из другого, например: «Существуют двуногие существа» выводится из «Существуют не имеющие перьев двуногие существа». Какие другие методы возможны в недедуктивном выводе?

Индукция, если она правильна, дает другой метод. Допустим, что существуют два класса А и В и такое отношение R, что в каком-то числе наблюденных случаев мы имеем (ставя «aRb» вместо «о имеет отношение R к b»)

a1 есть А b1 есть B. a1Rb1

a2 есть А. b2 есть B. a2Rb2,

……………………………..

an есть А. bn есть B anRbn