Человеческое познание его сферы и границы

Предметом, который мы сейчас собираемся исследовать, является не истина, а интерпретация. Часто случается, что мы имеем как будто достаточное основание верить в истинность какой-либо формулы, выраженной в математических символах, хотя и не можем дать ясного определения этик символов. В других случаях бывает также, что мы можем придать несколько различных значений символам, каждое из которых делает формулу истинной. В первом случае у нас нет даже и одной определенной интерпретации нашей формулы, тогда как во втором случае мы имеем много интерпретаций. Такая ситуация, могущая показаться странной, возникает в чистой математике и в математической физике; она возникает даже при интерпретации такого утверждения обыденного здравого смысла, как: «В моей комнате есть три стола и четыре стула». Таким образом, окажется, что существует большой класс утверждений, в отношении каждого из которых мы больше уверены в его истинности, чем в его значении. «Интерпретация» касается именно таких утверждений; оно состоит в нахождении возможно более точного значения для утверждения этого вида или иногда в нахождении целой системы возможных значений.

Возьмем сначала пример из чистой математики. Люди давно были убеждены в том, что 2х2=4; они так твердо были убеждены в этом, что это выражение служило ходячим примером чего-либо бесспорного. Но когда людей спрашивали, что они имеют в виду под знаками «2», «4», «+» и «=», они давали неопределенные и различные ответы, которые показывали, что они не знают, что значат эти символы. Некоторые полагали, что мы знаем каждое число благодаря интуиции и, следовательно, не имеем нужды в их определении. Это могло бы казаться вполне приемлемым там, где речь идет о малых числах, ко кто может иметь интуицию числа 3 478 921? Итак, они говорили, что мы имеем интуицию «1» и «+»; далее мы можем определить «2» как сумму «1+1», «3» как сумму «2+1», «4» как «3+1» и так далее Но это не давало вполне хороших результатов. Это давало возможность сказать, что 2+2=(1+1)+(1+1) и что «4»=(1+1)+1+1, вслед за чем нам нужна была новая интуиция для расстановки скобок и для убеждения, что, если /, m, n — три числа, то (/+m)+ +n=/+(m+n). Некоторые философы могли производить эту интуицию по требованию, но большинство людей относилось к их заявлениям до некоторой степени скептически и чувствовало, что здесь применялся какой-то другой метод.

Новый шаг вперед, более удобный для нашей проблемы интерпретации, был сделан Пеано. Пеано начал с трех не имевших определения терминов — «О», «конечное целое (или число)» и «следующее за» — и в отношении этих терминов дал пять положений, именно:

1. О есть число.

2. Если а есть число, то и следующее за а (то есть о+1) есть число.

3. Если два числа имеют одно и то же следующее за ними, то эти два числа тождественны.

4. О не является следующим за каким-либо числом.

5. Если s есть класс, к которому принадлежит 0 и также следующее за всяким числом, принадлежащим к s, то каждое число принадлежит к s.

Последнее из этих положении является принципом математической индукции.

Пеано показал, что с помощью этих пяти положений он может доказать любую формулу в арифметике.

Но вслед за этим возникло новое затруднение. Было признано, что, пока мы имеем в виду нечто удовлетворяющее этим пяти положениям, нам не нужно знать, что мы имеем в виду под «0», «числом» и «следующим». Но тогда оказалось, что существует бесконечное число возможных интерпретаций. Например, пусть «О» значит то, что мы обычно называем «1», и пусть «число» значит то, что мы обычно называем «числом, не являющимся О», тогда все пять положений оказываются все ещё истинными и вся арифметика может быть доказана, хотя каждая формула будет иметь неожиданное значение. «2» будет обозначать то, что мы обычно называем «З», но выражение «2+2» не будет значить «З+З»; оно будет значить «3+2», а «2+2=4» будет значить то, что мы обычно выражаем знаками «3+2=5». Подобным же образом мы могли бы истолковать арифметику при допущении, что «О» значит «100» и что «число» значит «число большее, чем 99». И так далее.