Черные дыры и складки времени

18 [Из периода обращения… («10 солнечных масс»).] Формула Ньютона: M_h=C₀³/(2πGP₀²), где M_h —масса дыры (или любого другого притягивающего тела), а С₀ и Р₀ — окружность и период любой круговой орбиты вокруг дыры, π = 3,14159…, a G — гравитационная постоянная Ньютона = 1,327х 10¹¹ км³/с² на солнечную массу. См. примечание далее по тексту на с. 21. Подставляя в эту формулу период обращения звездолета Р₀ = 5 минут 46 секунд и окружность орбиты С₀ = 10⁶ километров, получаем, что M_h =10 солнечных масс. (Одна солнечная масса равна 1,989 х 10³⁰ кг.)

20-21 [Что касается размеров… тем больше ее горизонт.] Формула для окружности горизонта имеет вид C_h = 4πGM_h/c[148] = 18,5 км х (М/М₀), где M_h — масса дыры, G — гравитационная постоянна Ньютона (см. выше), с = 2,998 х 10⁵ км/с — скорость света и М₀ = 1,989 х 10³⁰ кг — масса Солнца. См., например, главы 31 и 32 МТУ.

27 [Именно из-за этих приливов… приливной силой.] Приливная сила, выраженная как разность ускорений между вашей головой и вашими ногами (или между любыми другими объектами), определяется как Δa = 16π[148]G(M_h/C[148])L, где G — ньютоновская гравитационная постоянная (см. выше), M_h — масса черной дыры, С — окружность, на которой вы находитесь, и L — расстояние между головой и ногами. Заметьте, что ускорение гравитации на Земле равно 9,81 м/с². См., например, с. 29 МТУ.

29 [ЗАРЯ напоминает, что согласно предсказаниям общей теории относительности… становятся слабее.] Приведенная в предыдущем примечании формула дает для приливной силы Δа ~ M_h/C³. Когда окружность близка к горизонту, С ~ М_ъ (примечание к с. 21), поэтому Δа ~ 1 !М_h²

30 [Весь путь — расстояние в 30100 световых лет… займет всего 20 лет.] Время звездолета T_ship, время на Земле Т_Е и дальность полета D связаны соотношениями Т_Е = (2c/g)sinh(gT_ship/2c) и D = (2c²/g)[cosh(gT_ship/2c)-1], где g — ускорение корабля (для «земной гравитации» 9,81 м/с²), с — скорость света, a cosh и sinh — гиперболические косинус и синус. См., например, главу 6 МТУ. Для полетов длительностью много большей одного года эти формулы дают приблизительно T_E = D/c и T_ship = (2c/g)ln(gD/c²), где ln — натуральный логарифм.

31-32 [Чтобы оставаться на круговой орбите… швырнула вас к центру.] Математическое исследование круговых (и иных) орбит вокруг невращающейся черной дыры см., например, в главе 25 МТУ, особенно Врезку 25.6.

33 [Расчеты показали… на окружности в 1,0001 горизонта.] Ускорение, которое вы почувствуете, зависнув на окружности С над черной дырой с массой М_h и окружностью C_h, будет а = 4π²G(M_h/C²)/(l — C_h/C)^1/2, где G — гравитационная постоянная Ньютона. Если вы находитесь очень близко к горизонту, то С ≈ C_h ~ M_h, и значит, а ~ 1/ М_ь.

33 [При использовании обычного ускорения в lg… по часам звездолета.] См. примечание к с. 30 выше.

36 [Пятно уменьшилось… видим на Земле.] Если зависнуть на окружности С чуть выше горизонта радиусом C_h, то свет из внешней Вселенной можно будет увидеть сосредоточенным в ярком диске с угловым диаметром а «З√З√l — C_h/C рад ≈ 300√1 — C_h/C град. См., например, Врезку 25.7 МТУ.

36-38 [Также необычно то, что цвета… длиной волны 5 х 10 ^-7 метра.] Если зависнуть на окружности С чуть выше горизонта C_h, то длина волны света λ из внешней Вселенной будет иметь синеволновое смещение (эффект, обратный красному гравитационному сдвигу) к λ_прнято /λ_{излучеио} = √1 — C_h/C. См., например, с. 657 МТУ.

42 [Подставив эти числа… через 7 дней.] Когда две черные дыры массой М_h каждая обращаются вокруг друг друга на расстоянии D, они имеют период обращения 2π√D³/2GM_h , а сила отдачи испускаемых ими гравитационных волн заставит их сблизиться по спирали и слиться через время (5/512) х (c⁵/G³)(D)⁴/M_h³), где, как и выше, G — гравитационная постоянная Ньютона, а с — скорость света. См., например, уравнение (36.17b) в МТУ.

46 [Кольцо имеет длину окружности в 5 миллионов километров… искривления пространства-времени.] Человек, находящийся на собранном из балок кольце, на расстоянии L от внутренней поверхности почувствует ускорение а = (24π³GM_h/C³)L, направленное к центральному слою, на одну треть вызванное центробежными силами вращающегося кольца и на две трети приливными силами черной дыры. G — гравитационная постоянная Ньютона, M_h — масса дыры и С — окружность центрального слоя кольца. Для сравнения гравитационное ускорение на поверхности Земли равно 9,81 м/с². См. примечание к с. 27 выше.

48-49 [Законы квантовой гравитации… для путешествия во времени.] 1,62 х 10^-33 см = √C/hc³ — длина Планка-Уилера, где G — гравитационная постоянная Ньютона, с — скорость света и h — постоянная Планка (1,055 х 10^-34 кг-м²/с²). См. главу 14.

51 [Другим фактом… с развевающимися знаменами.] См., например, (Will, 1986).

Глава 1