Чёрная маска из Аль-Джебры

— Только-то?! — облегчённо вздохнул шах. — Мало же ты просишь! Я бы потребовал больше.

Принесли мешок риса, и шах сам начал выкладывать зёрна. На первую, клетку положил одно, на вторую — два, на третью — четыре…

Уже на седьмой клетке для шестидесяти четырёх зёрен не хватило места.

— Что же, — сказал странник, — вели ссыпа́ть зёрна в мешок.

Но шаху быстро наскучило считать. Он кликнул слуг. Теперь стали отсчитывать зёрна они: шестьдесят четыре, сто двадцать восемь, двести пятьдесят шесть, пятьсот двенадцать, тысяча двадцать четыре…

Но это была ещё только одиннадцатая клетка!

Стемнело. Зажгли светильники. Слуги чуть не падали от усталости. Когда они дошли до семнадцатой клетки, им нужно было отсчитать шестьдесят пять тысяч пятьсот тридцать шесть зёрен. Но тут они сбились со счёта. Несмотря на то что была уже глубокая ночь, шах велел разбудить мудрецов. Теперь он уже не смеялся, — побледнел, осунулся…

Прошли сутки, и ещё одни сутки, и ещё одни сутки, а мудрецы всё считали… Вот уже и они стали валиться от усталости, а конца всё ещё не было видно. Слуги вносили всё новые и новые мешки…

Но вот вбежал насмерть перепуганный хранитель шахских запасов. Он доложил, что в амбарах не осталось ни одного рисового зёрнышка.

— Негодяй! — закричал шах страннику. — Ты разорил меня!

— Я просил тебя накормить голодных, — ответил странник, — ты не захотел этого. Тогда я изменил свою просьбу. И ты счёл меня глупцом. Попробуй теперь сосчитать, сколько зёрен нужно положить на последнюю, шестьдесят четвёртую клетку, и ты поймёшь, кто из нас глупец. Опустоши все рисовые поля на свете — тебе и этого не хватит, чтобы со мной расквитаться.

— Ах так! — в бешенстве закричал шах. — Сейчас ты узнаешь, умею ли я платить сполна. Отрубить ему голову!

— Такова шахская справедливость, — закончила свой рассказ Шестёрка. — А теперь прошу вас убедиться, что задача эта очень проста, но практически невыполнима. Число рисовых зёрен росло по такому правилу: 1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее. Каждое последующее число больше предыдущего в два раза.

Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией. Только, пожалуйста, не путайте её с арифметической. В арифметической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего на одно и то же число — оно называется разностью прогрессии. В геометрической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего в одно и то же число раз, и число это называется знаменателем прогрессии.

В нашей задаче знаменатель прогрессии равен двум. Если хотите, эту прогрессию можно записать и так:

2⁰, 2¹, 2², 2³ 2⁴, 2⁵, 2⁶…

Нетрудно догадаться, что на шестьдесят четвёртой клетке должно быть 2⁶³ — два в шестьдесят третьей степени зёрен, потому что на первую клетку приходится 2⁰ — два в нулевой степени зёрен, то есть одно зерно. Но если вы попробуете сосчитать, чему равно два в шестьдесят третьей степени, вы ужаснётесь. Такого огромного количества зёрен никогда не смог бы раздобыть жестокий шах. Он не смог бы даже прочитать это число. Вот оно:

9 223 372 036 854 775 808 —

девять квинтиллионов двести двадцать три квадриллиона триста семьдесят два триллиона тридцать шесть миллиардов восемьсот пятьдесят четыре миллиона семьсот семьдесят пять тысяч восемьсот восемь… Уф!

Попробуйте подсчитать, сколько это килограммов риса, если каждое зёрнышко в среднем весит 0,0182 грамма. Знаете, что получится? Больше ста шестидесяти семи триллионов килограммов! Стоит ли доказывать, что моя задача хоть и проста, но практически невыполнима?

Шестёрка поклонилась и села. Ей долго хлопали. Потом поднялась латинская буква Эн. Она сказала так:

— Уважаемая Шестёрка познакомила нас с геометрической прогрессией, где все числа непрерывно растут. Такая прогрессия называется возрастающей. Я позволю себе занять ваше внимание сразу двумя геометрическими прогрессиями — возрастающей и убывающей. И сделаю это на одном и том же примере. Задача моя будет так же проста, как и предыдущая, и так же невыполнима. Моя предшественница рассказала прелестную сказку об изобретателе шахмат и коварном шахе. Позвольте и мне задать вам задачу, связанную с шахматами.

Эн вынула из кармана платок, развернула его и показала публике. На платке были нарисованы шестьдесят четыре квадрата, чёрные и белые, — как и на шахматной доске.

— Будем считать, — продолжала Эн, — что этот платок заменяет нам шахматную доску. Обратите внимание — толщина платка равна 0,1 — одной десятой миллиметра. Складываю платок пополам. Теперь его толщина стала вдвое больше: две десятых миллиметра. Зато и площадь его стала меньше в два раза. Складываю платок ещё раз вдвое. Теперь его толщина в четыре раза больше первоначальной, но и площадь уменьшилась в четыре раза. Попробуйте таким образом перегнуть платок 64 раза. — Эн бросила платок в зал, кто-то его подхватил и стал перегибать: раз, второй, третий…

— Готово! Теперь видна только одна клерка. Площадь платка уменьшилась в шестьдесят четыре раза.