Числа против лжи

Рис. 5.17. «Шаровые скопления» vir(M) и vir(N), отвечающие двум заведомо независимым, разным реальным династиям М и N, расположены «далеко друг от друга».

Пусть теперь а и b — две какие-то династии из множества vir(D), например, две летописные династии, рис. 5.18. Мы хотим ввести некоторую количественную меру близости между двумя династиями, то есть «измерить расстояние между ними», оценить — насколько они далеки друг от друга. Простейший способ был бы таким. Рассматривая обе династии как векторы в пространстве R^k можно было бы просто взять евклидово расстояние между ними, то есть подсчитать число r(а, b), квадрат которого имеет вид:

(a₁ - b₁)² + … + (a_k - b_k)².

Рис. 5.18. Наглядное изображение длительностей правлений в двух династиях а и b в виде графиков.

Однако численные эксперименты с конкретными летописными династиями показывают, что это расстояние не позволяет уверенно отделить друг от друга зависимые и независимые пары династий. Другими словами, такие расстояния между заведомо зависимыми летописными династиями и расстояния между заведомо независимыми летописными династиями в некоторых случаях оказываются сравнимыми друг с другом. Оказывается, иногда они имеют «один и тот же порядок».

Тем более нельзя определять «похожесть» или «непохожесть» двух династий, точнее, графиков их правлений, «на глаз». Визуальная похожесть двух графиков может ни о чем не говорить. Можно привести примеры заведомо независимых династий, графики правлений которых окажутся «весьма похожими». И тем не менее, никакой зависимости тут на самом деле не будет. Как выяснилось, в данной проблеме визуальная близость может легко ввести в заблуждение. Требуется надежная количественная оценка, устраняющая зыбкие субъективные соображения вроде «похожи», «не похожи».

Итак, задача состоит в том, чтобы выяснить — существует ли вообще такая естественная мера близости на множестве всех виртуальных династий, которая позволила бы уверенно отделить зависимые династии от независимых. То есть, чтобы «расстояние» между заведомо зависимыми династиями было «мало», а «расстояние» между заведомо независимыми династиями было «велико». Причем, требуется, чтобы эти «малые» и «большие» значения существенно отличались бы друг от друга, например, чтобы они были отделены одним или несколькими порядками.

Оказывается, такая мера близости, то есть «расстояние между династиями», действительно существует. К описанию такого коэффициента c(a, b) мы сейчас и перейдем.

Итак, мы построили в пространстве R¹⁵ некоторое множество династий D. Были смоделированы две наиболее типичные ошибки, делавшиеся летописцами. Каждая династия из множества D была подвергнута возмущениям типов (1) и (2). При этом каждая точка из D размножилась в несколько точек, что привело к увеличению множества. Получившееся множество мы обозначали через vir(D). Оказалось, что множество vir(D) состоит примерно из 15×10¹¹ точек.

Будем считать «династический вектор а» случайным вектором в R^k пробегающим множество vir(D). Тогда по множеству vir(D) мы можем построить функцию z плотности вероятностей. Для этого все пространство R¹⁵ было разбито на стандартные кубы достаточно малого размера так, чтобы ни одна точка из множества vir(D) не попала на границу какого-либо куба. Если x — внутренняя точка куба, то положим

Ясно, что для точки x, лежащей на границе какого-либо куба, можно считать, что z(x) = 0. Функция z(x) достигает максимума в области, где сосредоточено особенно много династий из множества vir(D), и падает до нуля там, где точек из множества vir(D) нет, рис. 5.19.

Рис. 5.19. Функция плотности, показывающая распределение точек множества vir(D).

Тем самым, график функции z(x) наглядно показывает, как именно распределено множество виртуальных династий vir(D) по пространству R^k. Другими словами, где это множество «густое», «плотное», а где оно разрежено. Пусть теперь нам заданы две династии

a = (a₁, …, a_k) и b = (b₁,…, b_k),

и мы хотим оценить — насколько они близки или далеки. Построим k-мерный параллелепипед P'(a, b) с центром в точке а, имеющий в качестве половины диагонали вектор a — b, рис. 5.20.

Рис. 5.20. Параллелепипеды P'(a, b) и P(a, b).

Если спроектировать параллелепипед P'(a, b) на i-ю координатную ось, то получится отрезок с концами

[a_i - |a_i - b_i|, a_i + |a_i - b_i|].

В качестве предварительного коэффициента с'(а, b) мы возьмем число

Ясно, что число с'(а, b) является интегралом функции плотности z(x) по параллелепипеду P'(а, b).