Число и культура

С тех пор отмеченные тенденции только укрепились. Начиная, как минимум, с К.Шеннона, даже информация обретает свою количественную, дискретную меру, современная техника отдает все большее предпочтение цифровым технологиям.

Означенный процесс алгебраизации и/или арифметизации не обошел стороной и науки о языке (лингвистика Ф. де Соссюра, фонология Н.Трубецкого, семиотика), искусстве ("формальная школа" в литературоведении, структурализм), первобытном мифе и обществе (Леви-Брюль, Леви-Строс и др.). Об этом уже упоминалось в разделе 1.1, но сейчас нас интересует более специальный аспект. Однако прежде – еще одно отступление.

Рассматриваемые системы класса S – будь то из предшествующего раздела или из настоящего – хорошо известны науке и носят в топологии наименование симплексов (от лат. simplex – простой). Прообразом двумерных симплексов служит треугольник, трехмерных – тетраэдр (треугольная пирамида):

Рис. 1-14

Для изображения тройственных систем (т.е. двумерных симплексов) ранее уже использовались треугольники, в частности треугольник Фреге (рис. 1-6); та же фигура является одним из иконографических символов Троицы. Треугольник способен служить наглядной схемой и для прочих триад.

В качестве элементов (в принятой терминологии) могут быть выбраны вершины треугольника, в качестве отношений между элементами – его стороны. Каждая из сторон соединяет пару вершин, будучи, таким образом, бинарным отношением ( n = 2 ). Каждая из вершин треугольника соединена соответствующими сторонами с каждой, т.е. система связна. Количества вершин и сторон совпадают: М = k, ср. уравнение (1) из раздела 1.2, – каждое из них равно трем.

С ничуть не меньшим основанием можно назначить элементами стороны треугольника; в таком случае роль отношений сыграли бы пересечения сторон, т.е. вершины. Каждое из пересечений, очевидно, бинарно, по-прежнему n = 2. Система в этом плане логически симметрична, инверсивна.

Подобное разложение треугольника не противоречит холистичности его восприятия. Один из исследователей науки напоминает о платоновской традиции целостного, интуитивного постижения геометрических истин: "Хотя треугольник и сложен из отрезков прямых, его свойства не дедуцируются из свойств прямой как таковой. Интуиция треугольника так же неделима, как неделимы слоги в известном рассуждении Платона из "Теэтета"" [152, c. 29], – и далее, ссылаясь на Платона, Аристотеля, Прокла, отмечает наличие и эстетического аспекта.

Если тройственные структуры ассоциируются с двумерными симплексами, то рассматриваемые в настоящем разделе четверичные – с симплексами трехмерными. Тетраэдр – также замкнутый геометрический объект, в котором каждая тройка его вершин соединена соответствующей гранью, т.е. в системе конституированы тринитарные отношения, n = 3. Аналогично предшествующему примеру, в качестве элементов могут быть выбраны вершины, отношений – грани пирамиды, но с равным успехом и наоборот, поскольку любая из вершин представляет собой пересечение трех и именно трех граней. Система по-прежнему логически инверсивна. Числа вершин и граней в тетраэдре совпадают ( М = k ), каждое из них равно четырем.

Помимо двумерных и трехмерных, топология оперирует симплексами произвольной размерности, n – мерными, где n может быть как больше, так и меньше двух или трех. В n – мерном эвклидовом пространстве симплексом называется замкнутая фигура n измерений, обобщающая понятия треугольника и тетраэдра. Пока мы, впрочем, сосредоточили внимание на тройственных и кватерниорных системах, хотя в нашем распоряжении есть и общее решение для различных n, М – выражения (9), (10), – которым отвечают симплексы произвольных размерностей.

В ХХ в. возник такой эффективный раздел математики как комбинаторная топология (см., напр., [258] или [14]). Геометрические объекты произвольной формы разбиваются на простейшие составляющие, симплексы. И наоборот: из последних, как из деталей конструктора, могут быть собраны фигуры произвольной конфигурации. Т.е. не только системы S, симплексы обладают элементарно-комбинаторной природой, но и используя такие системы как готовые блоки, "кирпичи", из них можно строить всевозможные сочетания. Так называемый симплекс-метод применяется, в частности, в экономике.