Число и культура

В каждом из отношений задействован один или несколько элементов, т.е. элементов в системе не меньше, чем отношений: M ≥ k (M больше или равно k). Каждый элемент, не являясь изолированным, в свою очередь, участвует в одном или в нескольких отношениях, т.е. отношений не меньше, чем элементов: M ≤ k (M меньше или равно k). Объединив два условия, получим:

M = k

( 1 )

В дискретных целостных системах число элементов равно числу отношений.

Элементы системы связаны между собой (физически, логически, в любом интересующем плане) попарно, тройками, группами по четыре и т.д. При изучении реальных систем часто сосредоточивают внимание лишь на определенном классе отношений элементов между собой. Скажем, выбирая в качестве базовых попарные (бинарные) отношения, все остальные (взаимодействия одновременно по три, по четыре и т.д.) считают логически производными от бинарных. Так поступают, например, в классической физике, ставя во главу угла взаимодействие пар материальных точек, а к более сложным случаям переходят с помощью обыкновенного наложения, суперпозиции. Дело, конечно, не в физике как таковой, – аналогичные предположения используются в самых разных областях, где так или иначе задействован рассудок. По сходному пути пойдем и мы, выбирая в качестве конституирующей лишь одну из разновидностей отношений, однако уже не обязательно бинарных.

Обозначим через n кратность отношений, заданных таким образом в системе, т.е. количество элементов, участвующих в каждом отдельном отношении, или взаимодействии. Если отношения бинарны, то n = 2 ; если тринитарны, то n = 3 и т.д. Сказанное – достаточно сильное логическое ограничение на систему, но, как вскоре предстоит убедиться, ее прецеденты встречаются чуть не на каждом шагу. Что, собственно, имеется в виду?

Во-первых, мы отвлекаемся от того, что, например, один элемент может вступать в многообразные отношения с другим, и в момент анализа берем только одно отношение: либо "генерализируя", "редуцируя" разнообразие и сводя его к одному "интегральному" сорту, либо рассматривая систему в некоем одном, специальном аспекте и под таким углом зрения априорно интересуясь только одним сортом. Подобные рамки суть заведомое упрощение многих реальных систем, но ведь сложное обычно познается посредством простого. Во-вторых, мы унифицировали отношения в смысле их кратности: например, если какая-то подгруппа элементов взаимодействует попарно, точно так же обязаны взаимодействовать и другие подгруппы. Если речь идет о тринитарном взаимодействии, таково оно для всех секторов. Подобная унификация есть не что иное, как требование логической однородности рассматриваемой системы: все ее части подчиняются одному и тому же принципу. Если бы было иначе, мы бы не знали, какой стратегии исследования придерживаться, и нам пришлось бы по-отдельности изучать, что происходит при одной кратности отношений (в одной подгруппе), а что при другой, т.е. мы все равно методологически вернулись бы к исходным простейшим случаям. Генерализация, редукция, выделение специального аспекта, унификация, достижение логической однородности – все это разные пути к выполнению одного и того же условия, выше названного простотой. Благодаря последней мы и можем определить кратность отношений n и считать ее одинаковой в рамках всей системы. Отныне у нас есть основание именовать такие совокупности не только целостными (полными, замкнутыми, связными), но и простыми.

В результате, чтобы определить количество отношений k, нужно пересчитать все возможные группы, состоящие из n элементов. Это одна из стандартных для элементарной математики процедур, и для сверки читатель может заглянуть в начало любого краткого курса комбинаторики, например, в [235]:

k = CMn,

( 2 )

где СМn – число сочетаний из M элементов по n.

Подставив формулу (2) в условие (1), получим:

M = СMn.

( 3 )

Ни один из курсов комбинаторики не обходится и без выражения для числа сочетаний [там же, с. 517]:

Сmn = M! / (M – n )! n!,

( 4 )

где знак факториала ( ! ) означает перемножение всех чисел от единицы до стоящего перед факториалом значения (например, M! = 1·2·3·…·M ).

Объединив условие (3) с формулой (4), получим уравнение:

M = M! / (M – n )! n!,

( 5 )

в котором величина n выступает в качестве параметра.

Решать данное уравнение предстоит уже в следующих разделах, а другой, для кого-то, возможно, более убедительный, вывод вынесен в Приложение 1.

Примечания

1 Поскольку составляемой модели предстоит работать с весьма элементарным, генетически древним (см. Предисловие) срезом культуры, постольку уместна ссылка на Аристотеля, на его мнение, что целое предшествует частям, см. [25, с. 379]. Или проще: представим себе ситуацию, когда мы собираемся составить некий заведомо полный список, но еще не знаем ни из каких единиц он будет состоять, ни сколько таких единиц потребуется.

1.3. Тройственные структуры