Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

– На этот раз реванша требую я, – объявил магараджа, и мудрец принял вызов, но попросил перенести партию на следующий день, так как магарадже надо было заняться неотложными государственными делами.

Мудрецу и в самом деле удалось отвлечь магараджу от его скорби. Правление его снова стало мудрым и успешным. Жизнь людей стала с каждым днем улучшаться, житницы снова стали наполняться рисом. Каждое утро магараджа и мудрец играли по две партии, и через некоторое время магараджа стал весьма искусным шахматистом. После игры магараджа уходил заниматься делами управления, а мудрец занимался медитацией.

Так продолжалось много недель и месяцев – до тех пор, пока мудрец не сказал магарадже, что считает выполненной свою миссию в его стране и хочет вернуться в свое горное убежище.

– Но я не могу отпустить тебя без награды, – возразил магараджа, – подумай, какой награды ты хочешь, и ты получишь ее, как бы велика она ни была. Ты избавил меня от печали и скорби, и никакая награда за это не может быть слишком большой.

– Я могу попросить самую большую, неизмеримую награду? – уточнил мудрец. Магараджа энергично кивнул, и мудрец положил на первую клетку шахматной доски рисовое зернышко. – На следующую клетку пусть положат два зернышка, а потом на каждую следующую клетку пусть укладывают вдвое больше зерен, чем на предыдущих. Я заберу весь рис, который покроет шахматную доску.

– Ты требуешь такой малости? – возмутился магараджа, но быстро успокоился, решив, что мудрец был бедняком, никогда не видел богатства и поэтому даже миска риса для него – целое состояние. Позвали слугу с ложкой рисовых зернышек, и он начал укладывать их, начиная с левого верхнего угла, по оговоренным правилам, то есть на каждую следующую клетку он клал вдвое больше зерен, чем было на предыдущей. Таким способом слуга заполнил первый ряд из восьми клеток:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

После того как слуга заполнил восемь клеток первого ряда, уложив на последнюю клетку 128 зерен (а всего он насчитал 255 зерен), ложка опустела. Поэтому на первую клетку второго ряда пришлась целая ложка рисовых зерен. Каждой следующей клетке соответствовало вдвое большее количество риса. Для восьми клеток второго ряда получилось следующее количество ложек:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

Сто двадцать восемь ложек – это горшок риса. Теперь рис в зал стали носить уже несколько слуг. Для шести клеток третьего ряда вышло

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

горшков риса. Только теперь до магараджи дошло, что мудрец запросил очень много риса, ибо 128 горшков риса соответствовали одному тяжелому, 50-килограммовому мешку. Теперь потребные количества риса приходилось отмерять именно такой мерой. Для восьми клеток четвертого ряда вышло

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

полновесных стокилограммовых мешков риса. Последней восьмой клетке соответствовало количество риса, которого хватило бы на полную загрузку каравана из дюжины запряженных быками телег.

Урожай риса в стране магараджи был в тот год просто феноменально велик, и он надеялся, что ему хватит риса, чтобы расплатиться с мудрецом. Однако прикинув, сколько риса потребуется для того, чтобы заполнить клетки пятого ряда, магараджа сдался. В его государстве просто не хватило бы для этого риса.

Мудрец знал это – во всяком случае, приблизительно. Для того чтобы оценить, сколько рисовых зерен потребуется для заполнения всех клеток шахматной доски, мудрец воспользовался свойствами цифры ноль. На первой клетке находилось одно зернышко, а затем с каждой клеткой число зерен удваивалось. Число зерен на следующих десяти клетках распределилось так:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

Таким образом, на одиннадцатой клетке оказалось 1024 зернышка. Будем щедрыми, и округлим это число с недостатком до 1000 зернышек. Тогда для следующих десяти клеток мы получим следующий ряд чисел:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,

каждое из которых надо умножить на тысячу. Если мы, проявив неслыханную щедрость, снова округлим последнее число до 1000, то на двадцать первой клетке окажется больше 1000 x 1000 = 1 000 000 = 10⁶ зерен. То же самое будет происходить и дальше: еще через десять клеток, на тридцать первой из них, уже окажется больше 1000 x 10⁶ = 10⁹ зерен; на сорок первой клетке получится больше 1000 x 10⁹ = 10¹² зерен; на пятьдесят первой клетке будет уже 1000 x 10¹² = 10¹⁵ зерен, а на шестьдесят первой клетке мы получим больше 1000 x 10¹⁵ = 10¹⁸ зерен. Это уже больше одного квинтиллиона рисовых зерен. На шестьдесят второй, шестьдесят третьей и шестьдесят четвертой клетках будет, соответственно, больше двух, четырех и восьми квинтиллионов рисовых зерен.

Таким образом, на всей шахматной доске окажется больше 16 квинтиллионов зерен. Для любящих точность{3} скажу, что сумма всех этих чисел на шахматной доске равна 18 446 744 073 709 551 615!