Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Считать можно быстрее, если называть только четные числа 2, 4, 6, 8, 10, … и пропускать нечетные. Человечеству потребовалось долгое время на то, чтобы научиться считать парами. Другие связки чисел — тройки, четверки и так далее — пока не использовались. Это предположение подтверждается лингвистическими данными. Когда мы говорим о числах, которые без остатка делятся на два, мы называем их «четными», но у нас нет такого же наименования для чисел, которые без остатка делятся на три, и в то время как число, которое при делении на два дает остаток, равный единице, мы называем «нечетным», у нас нет особого наименования для чисел, которые при делении на три давали бы остаток, равный единице или двум.

Если счет двойками даже маленькие дети усваивают с быстротой молнии, то им с намного большим трудом дается счет числами, которые делятся на три, четыре и большие числа. Однако для того, чтобы усвоить малую таблицу умножения, они должны наизусть выучить «последовательность троек» 3, 6, 9, 12, 15, …, «последовательность» четверок 4, 8, 12, 16, 20, … и все другие последовательности вплоть до «последовательности девяток» 9, 18, 27, 36, 45, …. Только добравшись до «последовательности десяток» 10, 20, 30, 40, 50, …, мы испытываем чувство облегчения, ибо счет десятками так же прост, как и счет единицами.

При счете связками равной величины, когда, например, считают дюжинами или — в настоящее время эта мера счета практически вышла из употребления — копа́ми, связками по 60 единиц, при одинаковых затратах времени достигают больших величин, чем при счете единицами. Конечно, такой способ счета неприменим, когда речь идет о числах иных порядков.

Использование счета связками или пакетами чисел тем не менее научило людей древних высоких культур такому арифметическому действию, как умножение, а также геометрическому образу того, что, собственно, оно означает. Если, например, взять пакет из шести элементов, шестерку, и поставить в ряд шесть жирных точек, а потом расположить семь таких рядов, которые можно назвать строчками, друг над другом, то мы получим наглядное представление числа 42 в виде «прямоугольного числа», результата умножения 7 × 6. Глуп тот, кто будет считать точки этого прямоугольника ряд за рядом, пока не дойдет до числа 42. Такой счет совершенно не нужен, потому что умножение сразу дает искомый результат 7 × 6.

Используя умножение, люди стали получать числа, большие тех, которые получали простым счетом. Правда, это касалось не всех чисел, например, нет такого простого числа, которое можно было бы получить умножением двух меньших чисел. К этому вопросу мы вернемся позже. Однако, когда, например, Платон требует, чтобы в его идеальном городе жили 5040 граждан, ему не надо было пересчитывать их поодиночке. Достаточно было построить прямоугольник. В ряд надо поставить 60 граждан, а затем построить колонну из 84 таких рядов. Итого, умножив 60 на 84, получим 5040 человек.

Платон поступил бы не так умно, если бы построил всех граждан в две шеренги. Тогда ему пришлось бы считать до 2520. Таким образом, чем ближе прямоугольник по форме к квадрату, тем эффектнее замещает изящное умножение тупой счет.

Если точки, символизирующие какое-либо число, можно расположить в виде квадрата, то такое число называют квадратом какого-то другого числа. Первые квадраты выглядят так:

1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9, 4 × 4 = 16, 5 × 5 = 25…

Последовательность квадратов 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … растет быстро. Примечательно то, что последовательность разностей последующих и предыдущих квадратов, начиная с трех, состоит из последовательности нечетных чисел.

4 — 1 = 3, 9 — 4 = 5, 16 — 9 = 7, 25 — 16 = 9, 36 — 25 = 11…

Если умножить не два, а три числа, то получается связка связок, например, при умножении 3 × 4 × 5. 4 × 5 есть прямоугольное число, составленное из четырех написанных друг над другом строчек, каждая из которых состоит из пяти точек. Число же 3 × 4 × 5 соответствует трем таким прямоугольникам, уложенным друг на друга. Такая фигура соответствует прямоугольному параллелепипеду, состоящему из 60 точек. Древние счетоводы наверняка были поражены тем фактом, что такое сравнительно большое число, как 60, можно получить всего из трех цифр. Самое большое число, которое можно получить, перемножив три однозначных числа, — это 9 × 9 × 9 = 729. В сравнении с 9 это число просто чудовищно велико.

Вообще, когда речь идет о тройном произведении какого-то числа, то есть о результате его умножения на само себя, то говорят о кубе этого числа. Геометрический образ такого числа действительно куб. Первые числа из ряда кубов выглядят так:

1 × 1 × 1 = 1, 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27,

4 × 4 × 4 = 64, 5 × 5 × 5 = 125…