Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Теперь, триста лет спустя, исходя из известной переписки Ньютона и Лейбница и других исторических обстоятельств, мы можем утверждать, что открыть «исчисление» удалось обоим ученым приблизительно в одно и то же время. В любом случае ни один из них не заимствовал идеи другого. Между тем французские историки науки не упускают случая то и дело напоминать о достижениях ученого юриста и математика-любителя Пьера де Ферма, который задолго до Ньютона и Лейбница высказывал догадки об основах «исчисления». Но Ферма делился своими прозорливыми идеями только в письмах своим самым близким друзьям. Лишь несколько десятилетий спустя швейцарский математик Эйлер сообщил широкой математической общественности о новаторских идеях Ферма.

В XVII в. идея «исчисления» просто носилась в воздухе. Абсолютно независимо от Ферма, Ньютона и Лейбница японский математик Секи Такакацу разработал способы расчетов, чудесным образом совпадавшие с открытым в Европе «исчислением».

Однако в действительности уже Архимед в III в. до н. э. продвинулся к идее «исчисления». Да, он даже лучше Ньютона или Лейбница понял, как можно точно обосновать новый математический метод. На простом примере расчета, с которым Архимед познакомился, вероятно, во время путешествия в далекую Александрию Египетскую, мы можем понять разницу между не отягощенными основаниями расчетами горячих смельчаков Ньютона и Лейбница и глубокомысленными и содержательными рассуждениями Архимеда.

Египетские дроби

Наряду с Междуречьем Египет был страной, где возникла одна из первых в истории человечества высокая культура. Подобно многим другим народам на заре времен, египтяне верили во множество богов, определявших судьбы людей и мира. Пантеон египтян был безмерно велик и сложен: согласно одной из многих традиций, Атум был богом солнца, Шу — богом воздуха, Тефнут — богиней влаги, Геб — богом земли, Нут — богиней неба, а божества Исида, Осирис, Сет, Нефтида были правнуками Атума. Гор, сын Исиды и Осириса, являлся наиболее почитаемым из всех египетских богов. Фараон считался воплощением Гора на Земле. Глазами Гора были солнце и луна, причем луну называли уджатом — святым оком Гора.

Сказание гласит, что Сет, брат Осириса, во время борьбы за трон Осириса, вырвал этот глаз у Гора. Тот, мудрый бог луны, покровитель наук и письменности, увидел бесчисленное множество частей, больших и малых, этого глаза, и попытался их воссоединить.

Самый большой фрагмент глаза Гора составлял его половину, второй — четверть уджата. Соединив эти части, Тот исцелил глаз на три четверти. Следующий фрагмент составлял одну восьмую святого ока Гора. Тот добавил и ее к глазу и таким образом восстановил глаз на семь восьмых. Следующая по величине была одна шестнадцатая часть уджата. Тот присоединил ее к восстановленной части, так что исцеленными оказались уже пятнадцать шестнадцатых глаза Гора. Теперь настала очередь одной тридцать второй части. Тот присоединил и ее, получив в результате глаз, восстановленный на тридцать одну тридцать вторых. Следующей частью стал фрагмент, в точности равный одной шестьдесят четвертой доле уджата. Тот присоединил его и получил глаз, восстановленный на шестьдесят три шестьдесят четвертых.

В этой своеобразной истории египтяне открыли дроби

Слово «дробь» оказалось в этом контексте как нельзя более подходящим, ибо речь шла о раздробленном глазе Гора.

Мы не знаем, слышал ли Архимед историю о разбитом глазе и бывал ли он вообще в Египте. Однако, если ему удалось услышать эту чудесную историю, он, вероятно, задал себе вопрос: что будет, если бог Тот не остановится на шестом фрагменте, а продолжит исцеление глаза дальше? Каждый следующий фрагмент был вдвое меньше предыдущего; глаз разбился на бесконечное число осколков. Удалось бы Тоту воссоздать глаз целиком?

Конечно нет, несомненно ответил бы Архимед, ибо, какое терпение ни проявил бы Тот, присоединяя все новые и новые осколки, всегда оставались бы и другие, бесчисленные осколки, которые следовало бы вставить. Но Архимед понимал и другое: чем прилежнее работал бы Тот, тем лучше становилась бы его работа, ибо чего бы не хватало, когда бы он, после тяжких трудов, завершил бы наконец свою работу? Не хватало бы той малой части глаза, которая была бы равна наименьшей доле, которую бы Тот вставил последней. Дефект с каждой новой вставленной частью становился вдвое меньше и со временем стал бы пренебрежимо малым. Если бы Тот вставил первые 64 осколка, то остался бы дефект, в точности равный

то есть дефект был бы меньше одной восемнадцатиквинтиллионной части целого глаза. Как при этом не вспомнить историю о магарадже, мудреце и шахматной доске, на 64 клетки которой надо было уложить рисовые зернышки — на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую?