Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Как мы видим, в последовательности кубов числа возрастают намного быстрее, чем в последовательности квадратов тех же чисел, а именно: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, …. Двухсотый куб, то есть 200 × 200 × 200, равен 8 миллионам. Это больше чем число 7 777 777, которого надеялся достичь Роман Опалка после десятилетий тяжкого труда.

На первый взгляд число 200 × 200 × 200 кажется не слишком большим: любой человек может без особого напряжения сил представить себе 200 точек, нанесенных в один ряд. Едва ли вид двухсот таких строчек, уложенных одна на другую, сильно поразит наше воображение. И что гигантского в кубе, составленном из двухсот таких квадратов? Но вспомним: Роман Опалка поставил перед собой задачу, образно говоря, потрогать каждую точку такого куба, проставив ее номер на холсте. Однако за сорок шесть лет изматывающего монотонного труда ему не удалось потрогать все точки куба. Опалка умер, остановившись посреди него.

Мы понимаем, как могут одурачить нас кубы чисел, когда, например, слышим, что Солнце почти в сто десять раз больше Земли. Это «в сто десять раз» хорошо укладывается у нас в голове, если мы имеем в виду радиусы Солнца и Земли. Радиус Солнца составляет приблизительно 700 тысяч километров, а радиус Земли — 6400 километров. Действительно, 110 × 6400 = 704 000. Однако, если сравнить объемы:

110 × 110 × 110 = 1 331 000,

то оказывается, что объем Солнца превосходит объем Земли более чем в 1,3 миллиона раз. Более того, в сравнении надо ориентироваться на сравнение объемов, а не радиусов.

Рис. 5. На графике изображенный справа дом по высоте в два раза больше дома, изображенного слева. Однако объем правого дома в восемь раз больше объема левого

Никто не станет утверждать, будто в обыденной жизни его все эти заблуждения с кубиками никогда не коснутся. Простой пример убеждает в обратном: вы читаете в новостях, что за последние десять лет число частных домов в вашем регионе удвоилось. В редакции газеты решили для наглядности сопроводить сообщение графиком. На горизонтальной оси отмечены временные пункты, соответствующие времени десять лет назад и сегодняшнему дню. Над пунктом десятилетней давности отложен вертикальный отрезок, соответствующий тогдашнему числу частных домов, а над пунктом, соответствующим нашему времени, отложен вертикальный отрезок, верхний конец которого удален от горизонтальной оси в два раза дальше, чем конец предыдущего. Эта точка соответствует числу построенных к настоящему времени частных домов. Пока все вроде правильно. Обе точки соединены прямой линией, что уже представляется несколько рискованным, ибо никто не знает, действительно ли число частных домов все это время росло равномерно. Но такой график кажется главному редактору слишком абстрактным. «Мы должны сделать его более понятным, — воодушевляет он художника, — и нарисуем на графике два дома! Один маленький, он будет слева под точкой, соответствующей тому, что было десять лет назад, а справа нарисуем большой дом, и он должен быть в два раза выше первого». Сказано — сделано. Такой график наверняка привлечет жадное внимание читателей, которые будут удивлены темпами роста строительства частных домов. Дело в том, что почти никто из читателей не обратит внимание на направление прямой линии или на сопроводительные числа, но зато почти все сразу увидят оба дома. И будут обмануты, ибо больший, увеличенный как раздутый пузырь дом действительно выше первого вдвое, но площадь его фасада больше уже в четыре раза, а уж объем больше в восемь раз…

Mundus vult decipi — мир любит обманываться.

Степени и проценты

Платон считал, что в идеальном городе должно быть 5040 граждан. Никто не знает, почему их должно быть именно столько. Одна из причин может заключаться в том, что число 5040 является произведением первых семи натуральных чисел: 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040. Вторая причина может заключаться в том, что произведение чисел от 7 до 10 — Пифагор, между прочим, называл число десять «числом совершенства» — в точности равно 5040. То есть 7 × 8 × 9 × 10 = 5040.

В любом случае древние греки умели перемножать сомножители числом более двух. Если же эти сомножители представляют собой одно и то же число, то говорят о степени этого числа. Рассмотрим, например, число 7. Вот его степени, не считая самого числа 7:

7 × 7 = 49, 7 × 7 × 7 = 343, 7 × 7 × 7 × 7 = 2401,

7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 16 807…

Очевидно, что величины степеней числа, большего единицы, растут очень быстро. Кроме того, с первого взгляда очень трудно определить, сколько раз было умножено какое-либо число само на себя после того, как число умножений переваливает за четыре. Поэтому математики приняли изобретенный еще в XIV в. английским кардиналом, богословом и философом Томасом Брадвардином способ написания: справа над числом пишут индекс, показатель степени, каковой сообщает нам, сколько раз умножается число само на себя. То есть мы можем записать: