Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

«То есть для вас речь идет о том, возможно ли в принципе ответить на этот вопрос?»

«Совершенно верно. Любой допустимый вопрос — а ваш вопрос, несмотря на то что он совершенно неинтересен, является допустимым — должен иметь ответ, ибо в математике нет места понятию “ignorabimus”».

«Но откуда вы черпаете свою убежденность? Как вы можете ее обосновать?»

Этот диалог скептика с Гильбертом вымышлен. Однако последний заданный скептиком вопрос побудил Гильберта наметить программу, оформленную в виде доклада, озаглавленного «О бесконечном», с которым он 4 июня 1925 г. выступил на съезде математиков в Мюнстере. Цель программы заключалась в том, чтобы «заменить работу с бесконечными величинами конечными процессами, позволяющими достичь тех же результатов, то есть пользоваться таким же ходом доказательств и такими же методами вывода формул и теорем». Что это значит?

Гильберт видит три способа поставить вопрос о том, сколько нулей содержится в десятичном представлении числа

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88….

Возможно наивное предложение, которое вполне мог бы сделать администратор из «отеля Гильберта»: представить себе прохождение всей бесконечной последовательности знаков числа π после запятой и при этом считать все появляющиеся по ходу просмотра цифры ноль. Таким способом можно сразу получить ответ.

Это, однако, чистое безумие и вздор. Никто не может просмотреть бесконечную последовательность цифр, как, скажем, полицейский просматривает картотеку преступников в папке-регистраторе. Он может это сделать, потому что, хвала Всевышнему, в мире существует лишь конечное число преступников, но вот последовательность знаков числа π после запятой не кончается никогда. Уже Гаусс в письме, отправленном 12 июля 1837 г. своему другу Генриху Христиану Шумахеру, протестует «против использования бесконечных величин как чего-то законченного и полного, ибо в математике это недопустимо». Гильберт примыкает к этому протесту Гаусса, когда пишет, что математическая литература «переполнена несуразностями и бессмыслицами, которые по большей части обязаны своим возникновением бесконечному».

Второе предложение осторожно-сдержанное. Разумеется, что вопрос о том, встречается ли ноль в десятичном представлении числа π бесконечное или конечное число раз, имеет право на существование. Мыслимо, однако, что мы никогда не получим ответа на этот вопрос, но печалиться по этому поводу едва ли стоит, потому что хотя вопрос и допустим, но он далек от насущных проблем и малоинтересен.

Гильберт не желает примиряться с этой отговоркой. Для него принципиально не существует никакого «ignorabimus». Его не существует и для несущественных вопросов^{29}. Встречается ли в десятичном представлении числа π ноль конечное или бесконечное число раз, должно быть тем не менее — в этом Гильберт твердо убежден — установлено принципиально: «Он, однако, ведет себя так, или он ведет себя не так (притом что я, возможно, не в состоянии это решить)!»^{30}

И наконец, лучший, третий путь, который Гильберт и формулирует в своей программе. Здесь он снова упоминает письмо Гаусса Шумахеру, где написано: «Бесконечное — это всего лишь façon de parler», то есть оборот речи. Точно так же, как Гильберт незадолго до 1900 г. истолковал геометрию как игру такими пустыми выражениями, как «точка», «прямая», «плоскость», — сведя при этом правила игры в двадцать аксиом — и смог представить геометрию в виде полной и непротиворечивой теории, он поступил и с числами с бесконечным десятичным представлением, к которым тоже можно приложить этот принцип.

Вычислительные операции с числами с бесконечным десятичным представлением в глазах Гильберта тоже выглядят как игра в шахматы на доске с бесконечным числом клеток и фигур. Так же как в шахматах существуют фигуры, которые передвигаются по определенным заданным правилам, в математике существуют числа, которыми оперируют по определенным правилам. Так же как в шахматах всегда можно наверняка сказать, поставлен ли королю соперника мат или нет, ожидается, что и в математике можно всегда с уверенностью, руководствуясь определенными принципами, определить, верна какая-либо формула или нет.