Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

С помощью разработанного им самим гениального метода^{35}, основанного исключительно на арифметических операциях с числами и обладавшего такой же достоверностью, как тот факт, что шестью семь равно сорока двум, Гёдель смог доказать следующую теорему: в любой логически непротиворечивой системе, содержащей арифметику чисел, существуют утверждения, относительно которых принципиально невозможно решить, являются они истинными или ложными.

При этом важно, чтобы доказательство или опровержение всех утверждений системы могли проводиться только теми средствами, какими располагает эта система.

Коротко говоря, Гёдель указал на то, что в формальной математике Гильберта всегда прячется «ignoramus et ignorabimus».

Но и это был не самый сокрушительный удар. Гёдель, помимо того, смог доказать следующее: только «извне», то есть с позиции, находящейся вне формальной системы, можно доказать, что эта система непротиворечива, ибо утверждение «формальная система является логически непротиворечивой» — это такое утверждение, относительно которого — находясь внутри системы — принципиально невозможно сказать, истинное оно или ложное.

Метафорически эти идеи Гёделя представил учившийся у Гильберта французский математик Андре Вейль, брат философа и мистика Симоны Вейль: «Бог существует, потому что математика непротиворечива, а дьявол существует, потому что мы не в состоянии этого доказать».

Мало того, сенсационно выглядело и то, как прозрение Гёделя стало достоянием математического сообщества: с 5 по 7 сентября 1930 г. в Кёнигсберге, городе, где родились Кант и Гильберт, состоялся шестой съезд немецких физиков и математиков, в котором приняли участие и выступили Рудольф Карнап как представитель Венского кружка, Аренд Гейтинг, ученик Брауэра, и Джон фон Нейман как представитель программы Давида Гильберта. Было предпринято много усилий для того, чтобы привлечь к участию в съезде представителей молодого поколения математиков. Этого хотели все, главным образом потому, что хотелось избежать ожидавшегося спора между приверженцами Брауэра и присутствовавшим на съезде Гильбертом. Молодые представители обеих школ, выступая, говорили обтекаемо и уклончиво. Принял участие в съезде и Гёдель, который изложил тезисы своей диссертации^{36}, чем снискал благосклонное одобрение участников. В конце заседания Гёдель попросил слова и объявил о своем последнем открытии, каковое будет опубликовано в его докторской диссертации: формальные системы, основанные на арифметических операциях с числами, необходимо являются неполными.

На тех, кто понимал, о чем идет речь, это заявление произвело эффект разорвавшейся бомбы. Сам Гильберт в этой дискуссии участия не принимал, потому что как раз в это время ехал в студию выступать с обращением, в котором он и сформулировал свое кредо: «Мы должны знать, и мы будем знать!» Однако Бернайс и фон Нейман прекрасно осознали важность заявления Гёделя: программа Гильберта в том виде, в каком она представлялась своему создателю, была безнадежно обречена. Лозунг «Мы должны знать, и мы будем знать!» оказался попросту несостоятельным. Несколько месяцев они не смели оповестить Гильберта о случившемся, боясь расстроить учителя и наставника.

До конца своих дней Гильберт отказывался признать важность теоремы Гёделя о неполноте.

Принстонские призраки

Сам Гёдель находил свое открытие чрезвычайно воодушевляющим. Он был твердо убежден в том, что математика, даже та, что позволяет выполнять расчёты с числами с бесконечным десятичным представлением, является непротиворечивой. С такой точки зрения программа Гильберта — это не более чем ненужное упражнение на усидчивость. Математика ничего не потеряет оттого, что признает это упражнение невыполнимым.

Выигрыш, наоборот, очень велик, ибо если существует высказывание, о котором можно утверждать, что внутри логической системы, в какой оно было сформулировано, оно не может быть ни доказано, ни опровергнуто, то это высказывание можно считать возможной новой аксиомой. Это означает, что можно словно декретом объявить это высказывание имеющим силу, а значит, обогащающим существовавшую систему ровно на это высказывание. Обогащенная на данное высказывание система остается непротиворечивой. Можно, однако, точно так же распорядиться, что верным является отрицание данного высказывания. Тогда мы получим из существовавшей системы новую расширенную, но другую систему, которая точно так же является непротиворечивой^{37}.

Таким образом, не возникает никаких затруднений относительно высказываний, о которых точно известно, что внутри логической системы, в которой они сформулированы, их невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Их существует множество — и в каждой обогащенной системе ровно столько, сколько было и раньше, то есть бесконечное множество.