Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Алгебраические числа — числа, являющиеся решениями алгебраических уравнений — тоже являются счетными. Вы можете ухватить идею доказательства этого утверждения, заметив, что каждое алгебраическое уравнение состоит из степеней x (выражений, подобных x³), умноженных на целое число (как в 4x³ + 2x − 1 = 0). Поэтому существует взаимно однозначное соответствие между решениями уравнений — алгебраическими числами — и целыми числами, определяющими уравнения. Мы можем заключить, что алгебраические числа являются счетными и, хотя их число бесконечно, мощность их такая же, как у натуральных чисел.

А сколько же иррациональных чисел, чисел, которые не могут быть выражены как отношения натуральных чисел? Возможно, вы думаете, что их тоже бесконечное число. Вы, вероятно, правы. Но то, чего вы, вероятно, не знаете (если вы, конечно, не знали ответ заранее), это то, что иррациональные числа более бесконечны, чем натуральные. То есть иррациональные числа имеют большую мощность, чем натуральные числа: их количество более бесконечно. Красивую аргументацию, впервые выявившую эту странную черту, предложил космополит от рождения Георг Фердинанд Людвиг Филлип Кантор (1845-1918), рожденный от датчанина и русской в Санкт-Петербурге, но проживший большую часть жизни в Германии. Его жизнь была полна разочарований, главным образом потому, что он работал на переднем крае современной ему математики и внес в поле рассмотрения бесконечность. Отчасти в результате стресса, создаваемого неприятием его работы со стороны консервативной части математического истеблишмента, в частности, влиятельного Леопольда Кронекера (1823-91), который был предубежден против всех разновидностей чисел, кроме рациональных, Кантор начал страдать серьезным умственным расстройством, все более обращаясь к религии, ибо он считал, что бесконечные множества объектов, которые он рассматривает, существуют как реализованные сущности разума Бога, и что он, Кантор, есть сосуд, избранный для того, чтобы явить их, некто вроде математического Иоанна Крестителя. Между приступами своей навязчивой идеи о том, что автором Шекспира был Бэкон, Кантор проводил все более длительные периоды в психиатрических клиниках, исследуя пограничные области религии, такие как масонство, теософия и учение розенкрейцеров, в точности так же, как он исследовал пограничные области математики, но с меньшим результатом. Определенно рискуют стать безумными те, кто всматривается в бездну бесконечности, что, возможно, начнете понимать и вы по мере развертывания этой главы.

В 1874 г. Кантор обнаружил простой аргумент, показывающий, что иррациональные числа более многочисленны, чем рациональные. Мы будем использовать этот аргумент и его видоизменения в других контекстах, поэтому стоит на нем задержаться. Начнем выписывать список случайно выбранных чисел, лежащих между 0 и 1, и последовательно их пронумеровывать (в левой колонке):

1	0,198 402 957 820…
2	0,438 291 057 381…
3	0,684 930 175 839…
4	0,782 948 261 859…
5	0,500 000 000 000…
6	0,483 913 562 785…
…

Теперь покажем, что каким бы длинным ни был список, включая бесконечную длину, существуют числа, которых в нем нет. Чтобы проделать это, построим новое число, выбирая первую цифру после десятичной точки в первом числе списка, вторую во втором числе и так далее и записывая в новом числе на соответствующем месте другую цифру, замена жирных цифр, например, даст нам новое число 0,134 903…. Этого числа определенно нет в списке, поскольку оно отличается от первого числа, оно отличается от второго числа и так далее. Отсюда следует, что количество действительных чисел (рациональные вместе с иррациональными) больше, чем количество натуральных чисел, потому что, как бы ни был длинен список, мы всегда можем построить число, которого в нем нет. Мы говорим, что действительные числа несчетны.

Давайте посмотрим на это заключение немного более пристально. Мы только что видели, что действительные числа (натуральные числа плюс рациональные числа и иррациональные числа) являются несчетными. Однако мы видели, что натуральные числа, рациональные числа и алгебраические числа все счетны. Мы можем сделать вывод, что числа, которые делают действительные числа несчетными, все являются трансцендентными (такими, как π и e).