Девушка, которая играла с огнем

«Границы математики» отнюдь не были учебником. На тысяче двухстах страницах этого кирпича излагалась история математики от древних греков до наших дней, включая исследования в области сферической астрономии. Монография считалась своего рода Библией, значение которой вполне сравнимо с тем влиянием, которое в свое время оказала Диофантова «Арифметика».

Впервые открыв книгу «Границы математики» на террасе гостиницы на пляже Гранд Анс, Лисбет внезапно перенеслась в волшебный мир чисел. Автор был наделен как педагогическим талантом, так и способностью увлекать читателя то историческим анекдотом, то застающей врасплох проблемой. Лисбет могла следить за развитием математики от Архимеда до ее практического применения в современной лаборатории ракетных двигателей «Джет Пропалшн» в Калифорнии. Она поняла, какими методами они решали свои проблемы.

Теорема Пифагора (x² + y² = z²), сформулированная примерно пятьсот лет до нашей эры, стала для нее настоящим откровением. Она вдруг поняла смысл того, что запомнила в старших классах школы во время одного из редких уроков, которые не прогуляла. «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Еще ее восхитило открытие Евклида, сделанное примерно за триста лет до нашей эры и относящееся к совершенным числам. Совершенными называются натуральные числа, равные сумме всех своих делителей. Открытие Евклида состояло в том, что произведение двух чисел, одно из которых есть степень двойки, а второе представляет собой разность следующей степени двойки и единицы, будет совершенным, если второй множитель – простое число. Лисбет убедилась в справедливости теоремы Евклида на примерах:

6 = 2¹ × (2² – 1)

28 = 2² × (2³ – 1)

496 = 2⁴ × (2⁵ – 1)

8128 = 2⁶ × (2⁷ – 1)

Именно логика соответствовала ощущению абсолютного у Лисбет. Она с радостью продиралась сквозь труды Архимеда, Ньютона, Мартина Гарднера и дюжины других классиков математики.

Затем Лисбет дошла до главы про Пьера Ферма, чья загадочная теорема озадачила ее на целых семь недель. Вообще-то это был довольно скромный отрезок времени, если учесть, что теорема Ферма сводила математиков с ума почти четыреста лет, пока, наконец, англичанин Эндрю Уайлс не решил ее в 1993 году.

Теорема Ферма формулируется на редкость просто.

Пьер Ферма родился в 1601 году в Бомон-де-Ломань на юго-западе Франции. Как это ни странно, математиком он не был, служил чиновником и предавался математике в свободное время, в качестве необычного хобби. И, тем не менее, он считается одним из самых талантливых математиков-самоучек всех времен и народов. Как и Лисбет Саландер, Ферма любил решать головоломки и загадки. Еще он обожал подшучивать над другими математиками, формулируя проблемы, но не снабжая их решениями. Философ и математик Рене Декарт удостоил его весьма нелестным эпитетом, а английский математик Джон Уоллс и вовсе обозвал «чертовым французом».

В 1630 году вышел французский перевод Диофантовой «Арифметики», содержащий наиболее полную экспозицию теории чисел, сформулированный Пифагором, Евклидом и другими античными математиками. Именно изучение теоремы Пифагора спровоцировало вспышку гениальности у Ферма и привело к формулировке его бессмертной проблемы. Он сформулировал вариант теоремы Пифагора, заменив в формуле x² + y² = z² квадраты на кубы: x³ + y³ = z³.

Проблема была в том, что новое уравнение, похоже, не имело целочисленных решений x, y, z. Тем самым Ферма с помощью незначительных изменений в равенстве перешел от соотношения с бесчисленным множеством решений к соотношению, не имеющему вообще никаких решений. В этом и состояла его теорема: Ферма утверждал, что в безграничной вселенной чисел не существует таких целых чисел, что куб одного может быть представлен как сумма кубов двух других и что это верно вообще для всех степеней выше двух, то есть случая теоремы Пифагора.

Вскоре другие математики согласились, что дело обстоит именно так. Метод проб и ошибок подсказывал невозможность опровержения теоремы Ферма. Проблема в том, что, даже производя вычисления до окончания века, невозможно перепроверить все числа, ведь их бесконечно много, и потому невозможно быть на сто процентов уверенным, что среди очень больших чисел нет таких, что опровергали бы теорему Ферма. В математике все утверждения должны быть доказаны строго математически, с применением безусловно верных и доказанных формул. Математик должен быть готовым заявить с трибуны: «Это так-то и так-то, потому что…»

По обыкновению, Ферма показал коллегам что-то вроде фиги в кармане. На полях своего экземпляра «Арифметики» Диофанта этот гений написал формулировку задачи и закончил строками на латыни, ставшими бессмертными в истории математики: «Я нашел поистине чудесное доказательство, но эти поля слишком узки, чтобы его вместить».