Диссертация рассеянного магистра

Что может быть приятнее завтрака в лесу? Ты сидишь на земле, в неудобной позе, ешь холодные сосиски, запиваешь лимонадом прямо из бутылки, а над тобой качаются зелёные ветки и вовсю заливается птичья самодеятельность…

«Но лесенка кончается, ведь есть всему конец…» Так, кажется, поётся в известной детской песне? Перерыв кончился, заседание возобновилось.

Нам предстояло разобраться в самом запутанном вопросе — о наскальных надписях, которые Магистр читал так, а Единичка почему-то этак. Кто же из них был прав?

На этот раз объяснять пришлось мне.

— Вся штука в том, что Магистр и Единичка читали наскальные числа в разных системах счисления. Магистр — в десятичной, а Единичка — в двоичной, то есть так, как было нужно.

— И как только она догадалась? — удивился Сева.

— На то она и Единичка, — ответил я, не моргнув глазом.

— А что прикажете делать нам, простым смертным?

— Хорошо, — сжалился я. — Давайте разберёмся. По-моему, сами названия говорят о том, что в десятичной системе участвуют все десять цифр, а в двоичной — только две. Как мы записываем числа в десятичной системе? Мы разбиваем их на разряды. Разряд единиц, разряд десятков, сотен, тысяч и так далее. При этом каждый следующий разряд в десять раз больше предыдущего. Вот, например, число 425. Что это такое? Это сумма пяти единиц, двух десятков и четырех сотен. Значит, это число можно написать и так:

4*100 + 2*10 + 5 = 425.

А если вспомнить, что 100 равно десяти в квадрате, десять равно десяти в первой степени и, наконец, единица равна десяти в нулевой степени (ведь всякое число в нулевой степени равно единице), то число 425 может быть записано итак:

4*10² + 2*10¹ + 5*10⁰ = 425.

Точно так же записываются числа в двоичной системе, только место десятков здесь занимают двойки в тех же степенях. Так, число, которое в десятичной системе читается как десять, в двоичной читается как два. Ведь в этой системе

10 = 1*2¹ + 0*2⁰, то есть двум.

А число 110 в десятичной системе не что иное, как 6 в двоичной системе:

110 = 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰, то есть шести.

Ну, а теперь вы и сами разберётесь в разночтениях Магистра и Единички.

— Забавная система, — сказал Сева.

— Не только забавная, но и полезная. Ты ведь уже знаешь, что двоичная система принята в большинстве быстродействующих счётных машин.

— Это и я знаю, — обрадовался Нулик. — Нуль означает «нет», а единица — «да»…

Впрочем, президент не стал вдаваться в подробности. Он решил записать число 29 в двоичной системе и добился-таки своего, написал: 11101.

В самом деле: 11101 = 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰, а это в сумме даёт 29.

Ребята наперебой стали переводить числа из одной системы в другую. Похоже, этому не было бы конца, если бы Олег не вернул чересчур увлекающихся клубменов к их основной деятельности.

— Оказывается, — сказал он, — Магистр не совсем безнадёжен. Он ещё не забыл признака делимости чисел на 11. Но и тот запомнил не до конца. Он отделил цифры, стоящие в числе на нечётных местах, от цифр, стоящих на чётных. При этом суммы их оказались разными. Из этого Магистр заключил, что число на 11 не делится. А ему надо было вычислить разность между этими двумя суммами. Ведь если эта разность делится на 11, то и все число непременно тоже разделится на 11.

— Проверим, — сказал Сева по примеру Нулика. — Число, которое Магистр прочитал на камне, — 6 111 116. Сумма цифр на нечётных местах 6+1+1+6 равна 14, а сумма цифр начётных местах 1+1+1 равна трём. Разность между 14 и 3 равна 11. Ну, а уж 11 на 11 обязательно разделится. Стало быть, и все число на 11 делится. 6 111 116: 11 = 555 556.

Заливисто залаял Пончик.

— Шесть часов, — глубокомысленно заметил Нулик. — Он всегда лает в это время.

— Не собака, а хронометр! — сказал Сева, взглянув на часы. — Пора возвращаться…

Ребята быстро прибрали лужайку (не оставлять же после себя мусор!), и мы двинулись к станции.

По дороге нам предстояло обсудить ещё один каверзный вопрос, который был задан Магистру при входе в пещеру: каковы наибольшее и наименьшее десятизначные числа, состоящие из всех 10 цифр?

— На этот вопрос отвечу я, — сказал президент.

Желание понятное: ведь камнем преткновения для Магистра на этот раз был нуль. Определяя наименьшее число, незадачливый математик подставлял нуль то в начало числа, то в конец, и все без толку. Нулик же поставил нуль тотчас же после единицы и получил искомое: 1023456789 — один миллиард двадцать три миллиона четыреста пятьдесят шесть тысяч семьсот восемьдесят девять. Лихо!

— Могу не только наименьшее, но и наибольшее написать! — расхвастался президент. — Вот, пожалуйста: 9876543210…

— Стоит ли? — возразил Олег. — Ведь это число и сам Магистр записал правильно. Лучше уж подсчитай, сколько вообще можно составить десятизначных чисел из всех десяти цифр. Ведь на этот вопрос Единички Магистр так и не ответил.

— Вот ещё! — заартачился президент. — Он не ответил, а я — мучайся.

На его счастье, как раз в это время подошла электричка.