Диверсификация инвестиционного портфеля. Теория Марковица-Шарпа

Если инвестор распределил свой начальный капитал по активам A и B так, что на долю своих средств W_A он купил актив A, а на долю W_B купил актив B, то этой покупкой инвестор зафиксировал количество активов A и B в своем портфеле. Так как цены этих активов могут изменяться, то в портфеле могут изменяться и доли финансов инвестора между активами A и B. Но количество купленных активов и их соотношение не меняются, так как инвестор ничего не продает из портфеля и ничего не докупает в свой портфель в течение M дней.

Так как доходность, это относительная величина и она не зависит от количества купленных активов, то доходность портфеля в m-й день линейно зависит от доходностей двух активов в m-й день с коэффициентами пропорциональности равными долям начального распределения средств инвестора по активам:

Подставив, это выражение в две последние формулы предыдущего раздела, получаем:

Здесь C_AA, C_BB и C_AB, это элементы матрицы ковариаций доходностей (см. Приложение П.5.2) активов A и B.

Как уже говорилось выше, W_A, это доля финансов, которая пошла на покупку актива A, а W_B, это доля средств, которая была вложена в актив B. Эти доли принято называть весовыми коэффициентами или просто весами активов.

Все эти веса могут меняться только в пределах от 0 до 1:

Это правило выполняется не только, когда в портфеле всего 2 актива, но и когда в портфеле любое количество активов. Если вес какого-то актива равен нулю, то это означает, что в рассматриваемом портфеле данный актив отсутствует.

В теории отрицательные веса соответствуют шортовым продажам. В данной книге такие ситуации не рассматривается, так как книга посвящена не трейдингу, а инвестированию.

Сумма всех весов обязательно всегда должна быть равна единице:

Последнее условие называется условием нормировки на единицу.

Если вес какого-то актива равен 1, значит, веса всех других активов должны быть равны 0. То есть портфель состоит только из одного актива, а все другие рассматриваемые активы в нет отсутствуют.

По диагоналям ковариационной матрицы С всегда стоят дисперсии активов. Стандартные отклонения (риски) активов, это, как раз, корни квадратные из дисперсий. Значит, формулу риска для портфеля с двумя активами можно переписать так:

Связь коэффициента корреляции Corr_AB со взаимной ковариацией C_AB следующая (см. Приложение П.5.3):

Поэтому формулу для риска портфеля из двух активов, в общем случае, можно еще переписать так:

Посмотрим, какой будет риск портфеля с этими активами в зависимости от того, как коррелируют между собой доходности этих активов.

1.2.2.1. Коэффициент корреляции Corr=1

Пусть временные ряды доходностей активов A и B очень сильно коррелируют между собой с коэффициентом корреляции Corr_AB=1.0. В этом случае в формуле для риска под квадратным корнем получаем полный квадрат, и квадратный корень извлекается. И тогда общий риск портфеля с двумя сильно коррелированными активами будет:

Получается, что для сильно коррелирующих активов риск портфеля, это просто взвешенный риск его активов. На графике «Риск-Доходность» на рис. 5 в этом случае получаем портфели на черном отрезке между точками A и B. Каждая точка черного отрезка соответствует своему соотношению весовых коэффициентов W_A и W_B.

Например, если 50 % всех своих финансов инвестор вложит в актив A и 50 % в актив B, то получаем портфель, показанный черной точкой на черном отрезке. Эта точка лежит в середине черного отрезка. У такого портфеля с равными вложениями в 2 актива с нашими данными получились следующие средняя доходность и средний риск S:

Теперь посмотрим на еще одном синтетическом примере, как это всё выглядит на временных графиках. На рис. 6. показано поведение цен двух активов с сильной корреляцией их доходностей за 43 торговых дня.

Рис. 6. Изменение цен двух активов с сильной корреляцией их доходностей за 43 торговых дня.

Эти цены меняются очень похоже друг на друга. Они одновременно растут и одновременно падают. Доходности этих активов в этом примере коррелируют друг с другом коэффициентом корреляции очень близким к единице: Corr = +0.95.

Средняя доходность первого актива на интервале 43 торговых дня ₁=0.045, а риск S₁=0.202. Средняя доходность второго актива ₂=0.017, а риск S₂=0.072.

На рис. 7 показан график доходностей этих активов. Хорошо видно, что эти доходности одновременно друг с другом становятся отрицательными и одновременно становятся положительными. Отрицательные доходности означают убытки.

Рис. 7. Изменение доходностей двух сильно коррелирующих активов за 43 торговых дня, их средние доходности и диапазоны риска.