Однако после окончания средней школы любовь к точным наукам оказалась сильнее любви к искусству, и Мягков поступил в Ленинградский химико-технологический институт. Проучившись там пять лет, был распределен в институт пластических масс в том же городе на Неве. Вполне вероятно, что впереди его могли ждать неожиданные открытия в области пластических масс, кандидатская диссертация и ученая степень. Но судьбе было угодно, чтобы Мягков все-таки ушел в искусство.
Летом 1961 года, когда в Ленинград приехали в поисках талантливой молодежи преподаватели Театрального училища имени В. Немировича-Данченко, Мягков решил показаться им на глаза. Несмотря на то, что со дня его последнего выхода на сцену в школьных постановках прошло уже несколько лет, Мягков довольно быстро сориентировался в обстановке и легко прошел два тура. В третьем туре он должен был прочитать стихотворение, отрывок из прозы (это был кусок из «Войны и мира») и басню. Два первых задания экзаменаторы прослушали внимательно, а когда абитуриент хотел приступить к третьему, его внезапно прервали. «Не надо, молодой человек, — сказали ему. — Вы приняты». Так в жизнь Мягкова навсегда вошел театр.
Годы учебы в студии запомнились Андрею массой самых различных событий, как творческих, так и личных. Например, именно там он встретил юную студентку Настю Вознесенскую, которая вскоре стала его женой. Там же он сумел воочию увидеть многих прославленных педагогов и актеров тогда еще великого МХАТа. Правда, встречи с этими педагогами не всегда приносили Мягкову одни только радости. Однажды он не сумел сдать вовремя зачет (целыми днями болтался на знаменитой лестнице-курилке), и его выгнали из студии. После этого ему пришлось жертвовать личным временем, чтобы наверстать упущенное.
Окончив Школу-студию в 1965 году, А. Мягков и А. Вознесенская поступили в труппу театра «Современник», который в те годы был одним из самых легендарных коллективов страны. Жили в общежитии. В том же году на молодого актера обратили внимание кинематографисты. Режиссер Элем Климов, впервые увидевший Мягкова в дипломном спектакле студии МХАТ «Дядюшкин сон» (он играл в нем роль Дядюшки), предложил молодому актеру главную роль в картине «Похождения зубного врача» (сценарий А. Володина). Мягков с радостью согласился. Знал бы он заранее, чем обернется его дебют в кино, он бы, наверное, не стал торопиться со своим решением. Что же тогда произошло?
А. Володин до своего прихода в кинематограф довольно активно работал в театре, но, когда у него стали закрывать одну пьесу за другой, он решил сменить место обитания. Причем ушел со скандалом. Как гласит легенда, он прислал министру культуры РСФСР свою авторучку с краткой надписью: «Пишите сами».
Однако в кино его поджидали держиморды покруче тех, что надзирали за театром. Когда он написал сценарий комедии «Похождения зубного врача», был конец 1964 года. Только что сменили Хрущева, и чиновники находились в явном смятении — они не знали, что можно разрешать, а чего нельзя. В сценарии Володина их в первую очередь смущало то, что героем выступает не какой-нибудь сталевар или председатель колхоза, а зубной врач по фамилии Чесноков. Во время одного из таких обсуждений Володин не выдержал, прилюдно выругался матом и ушел, хлопнув дверью.
И все же фильм через несколько месяцев решено было запустить. Режиссером утвердили Э. Климова. На главную роль тот взял А. Мягкова. И съемки начались.
Вспоминает Э. Климов: «По правде сказать, я и сам был не очень доволен фильмом. Сценарий Володина мне очень нравился, но снимать его было очень трудно. Строго говоря, это никакой не сценарий — он был написан в форме эссе, и трудно было найти ему конкретную форму, стиль, интонацию. Это была такая притчевая история, жанр по тем временам для нашего кино совсем новый, неосвоенный.
Володин был все время с нами, старался всячески помочь.
Но, честно говоря, лучше бы он этого не делал. Сам характер этой работы требовал от режиссуры большей свободы поиска, опробования самых разных вариантов. А автор все время висел над нами, дрожал над каждым словом. Все боялся, что мы что-нибудь нарушим, исказим. К тому же для фильма было бы лучше, если бы в нем оказалось побольше юмора, легкости, игры. А Володин, наоборот, все старался как-то усерьезнить.
К тому же я как постановщик в этом фильме замахнулся на сложные, рискованные эксперименты со звуком, музыкой, пластикой и не во всем вышел победителем. Не хватило для этого опыта, в частности, опыта работы с актерами».
Когда картина была завершена, чиновники от кино посчитали ее провальной и на год положили на полку. А когда в 1967 году все-таки решили выпустить на экран, то постарались сделать так, чтобы массовый зритель ее не увидел — было отпечатано всего 78 копий. В итоге первый фильм, в котором снялся Мягков, увидели всего лишь 500 тысяч человек.