Древний Шумер. Очерки культуры

В клинописных текстах встречается несколько систем исчисления. Древнейшая из них связана с шумерскими числительными. Шумерский язык различал счет пальцев на правой и на левой руке: после числа 5 открывался как бы следующий счет, заключавшийся в прибавлении к 5 других чисел (6=5+1, 7=5+2). Однако письмо исходило из двухручного десятичного счета, и числа от 1 до 9 изображались соответствующим числом палочек, позднее превратившихся в клинообразные углубления. Из десятков собственные наименования имели только два — 10 и 20. С шестого десятка, как и с шестой единицы, начинался новый счет. Десятки обозначались кружками, которые в развитой клинописи превратились в углышки, причем с шестого можно было снова записывать счет палочками. Десятки после 60 обозначались сложением 60 и какого-либо другого десятка, поэтому особого названия для сотни не существовало. Не фигурировала сотня и в счете. Число 60 стало основной счетной единицей во всех хозяйственных делах шумеров. Нам известны цифры 600, 3600, 36 000, 216 000 и даже больше, кратные 60. С применением такой системы счета шумеры вычисляли углы и единицы времени, проводили расчеты движения небесных тел, не говоря уже о хозяйственных операциях.

При ведении храмовых и царских дел необходимо было прибегать к большим числам. Для этого выработали позиционную систему числовой записи, в которой любое число записывалось при помощи двух знаков — вертикальной клиновидной черты и углышка. Первым знаком записывались числа 1, 1×60 и все степени числа 60; вторым — десятки от 10 до 50. Десятки и единицы могли также означать данный десяток и данные числа единиц, умноженных на 60 или любую степень 60. Таким образом, создалась система, в которой порядок основан на шестидесятиричной системе, а в пределах порядка есть специальное обозначение для десятков и для единиц. В отличие от шумеров рациональные аккадцы издавна пользовались строго десятеричной системой и записывали ее несколько иначе, но и в их практике встречаются расчеты, сделанные по-шумерски.

Основную часть курса математики в шумерской школе занимала техника счета. Шестидесятеричная система требовала огромной таблицы умножения. Еще сложнее обстояло дело с делением: вместо него производили умножение на «обратную величину» — дробь с единицей в числителе и нужным числом в знаменателе, выраженную в описанной выше позиционной системе. Кроме таблиц обратных величин существовали также таблицы для перевода из различных метрологических систем в абстрактную позиционную, таблицы квадратов и квадратных корней, списки обратных постоянных величин — как математических (диагональ квадрата, диаметр, радиус, площадь круга, площадь правильного треугольника), так и эмпирических (нормы урожайности, нормы труда, нормы укладки кирпича, нормы материала, нормы переноски тяжестей и т. д.). Постоянные существовали и для вычисления рационов, которые были одинаковыми для всех работавших, независимо от социального положения; разница определялась только полом и возрастом.

Задачи не формулировались абстрактно, они всегда оперировали конкретными предметами, площадями, объемами. Ход их решения приводился без какого-либо логического обоснования и, видимо, должен был просто зазубриваться (допускалась даже подгонка под ответ, лишь бы решение соответствовало инструкции). Столь же конкретными были названия действий и геометрических фигур. Так, операция сложения у шумеров называлась двояко — «накопление» и «прибавление». В первом случае производилось сложение равноправных величин, во втором — двух величин, одна из которых основная, а другая дополнительная. Для двух величин, сложение которых называлось накоплением, при вычитании применялся термин «недоставать»; для величин, образованных прибавлением, при вычитании употреблялся глагол «вырывать». Термин же для умножения вообще означал «скушать». Треугольник в шумерской геометрии назывался «клин», трапеция — «лоб быка», круг — «обруч». Емкость обозначалась термином «вода», объем — «земля, песок», площадь именовалась «поле». Эта терминология показывает конкретно-практический характер арифметических и геометрических операций шумерской математики.

Достижения шумеров в области астрономии следует признать самым значительным их вкладом в мировую науку и культуру. Уже протошумерские печати с пиктограммами показывают, что в городах Южного Двуречья велись систематические наблюдения за Венерой (Инанной), Луной, Юпитером и Сатурном. Восход и заход Венеры, как и остальных планет, требовали специальных ячменно-пивных жертв. Было известно в то время и созвездие Тельца. Ранние печати из сопредельного с Шумером Элама содержат изображения животных (овцы, козла, быка) и людей-близнецов, что также может указывать на образы созвездий. Встречаются также и стилизованные изображения солнца (так называемые солярные розетки). Однако ни о каких вычислениях, связанных с астрономическими наблюдениями, ни эти, ни более поздние шумерские источники не сообщают.