Другая история науки. От Аристотеля до Ньютона

Люди в разных местах и в разное время постепенно накапливали эмпирические знания, развивая ремесло, земледелие, обмен и торговлю. Эти знания подвергались систематизации; так выделился особый вид понятий и методов решения задач. Пересчет элементов конечных множеств, а также упорядочивание этих элементов привели к понятию натурального числа, как количественного, так и порядкового. Сравнение масс предметов, объемов сосудов, расстояний дали понятие величины. Изучение формы изделий, зданий, земельных участков вывело к понятию геометрической фигуры, как части геометрического пространства (само слово геометрия в переводе с греческого означает «землемерие»).

Так же из повседневной практической деятельности сформировались и другие математические понятия: площади, объема и прочих абстракций пространственных свойств предметов.

Ведь создание математической науки есть прежде всего переход к абстракциям. Вместо счета стрел, голов скота и т. д. родилось абстрактное понятие числа. Стало возможным предварять непосредственное оперирование с вещами оперированием с их упрощенными, схематическими изображениями и наименованиями (символами).

Наконец, наступил период, когда это знание стало востребованным в заметных масштабах, в обществе образовалась прослойка людей, умеющих пользоваться совокупностью математических приемов. С этого момента, можно сказать, начала существовать математика как наука.

Прежде всего началась арифметика. Предмет ее составляют не числа, а система чисел с ее связями и законами, да и сама арифметика может быть определена как наука об отношениях между числами. Само же слово арифметика происходит от греческого «искусство счета» (арифмос – число и техне – искусство). Что касается слова математика, то от греческого mathema – значение, наука, знание. С толкованием определения математики и сегодня не все достаточно ясно. Довольно сильной является традиция ее трактовки не столько как науки, сколько как языка науки.

О математике Древнего Египта

Все наши познания о древнеегипетской математике основаны главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках.

Один из больших папирусов носит название математического папируса Ринда (по имени обнаружившего его ученого) и находится в Лондоне. Он имеет приблизительно 5,5 метра в длину и 32 сантиметра в ширину. Другой большой папирус, почти такой же длины и 8 сантиметров в ширину, находится в Москве. Содержащиеся в них математические сведения относят примерно к 2000 году до н. э.

Папирус Ринда содержит 84 задачи прикладного характера. При решении этих задач производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга, объемы параллелепипеда, цилиндра, размеры пирамид. Имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решении одной задачи находится сумма геометрической прогрессии.

В Московском папирусе собраны решения 25 задач. Большинство их такого же типа, как и в папирусе Ринда. Кроме того, в одной из задач правильно вычисляется объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, а в другой содержится самый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, то есть полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания.

При изучении этих папирусов обнаруживается, что у древних египтян сложилась определенная система счисления: десятичная иероглифическая. Для узловых чисел вида 10к (к = 0, 1, 2,…, 7) установлены индивидуальные иероглифы. Алгоритмические числа записывались комбинациями узловых чисел. С помощью этой системы египтяне справлялись со всеми вычислениями, в которых употребляются целые числа. Что касается дробей, то египтяне понимали дроби только как доли единицы: употреблялись лишь дроби аликвотные (вида 1/n) и некоторые индивидуальные, как, например, 2/3, 3/4. Все результаты, которые должны были выражаться дробями вида т/n, выражались суммой дробей. Для облегчения этих операций были составлены специальные таблицы, например таблица чисел вида 2/n (n = 3,…, 101).

Сложились также определенные приемы производства математических операций с целыми числами и дробями. При умножении, например, преимущественно используется способ постепенного удвоения одного из сомножителей и складывания подходящих частных произведений (отмечены звездочкой) (12 x 12)

1 – 12

2 – 24

*4 – 48

*8 – 96

Вместе – 144

При делении также используется процедура удвоения и последовательного деления пополам. Деление, по-видимому, было самой трудной математической операцией для египтян; в нем наблюдается самое большое разнообразие приемов.

Цифры Египта, Вавилона, Сирии и Аттики

Приведем пример одной из задач.