Думай «почему?». Причина и следствие как ключ к мышлению

Хотя теория миазмов в наше время полностью развенчана, бедность в этом примере, несомненно, являлась конфаундером, как, впрочем, и местоположение. Однако, даже не собирая данные по этим переменным (так далеко опросы доктора Сноу не заходили), а используя лишь инструментальную переменную, мы способны вычислить, сколько жизней было бы спасено благодаря чистой воде.

Рис. 48. Диаграмма для холеры после введения инструментальной переменной

Вот как это работает. Для простоты мы вернемся к именам Z, X, Y и U для наших переменных и перерисуем диаграмму рис. 48 так, как на рис. 49. Я добавил путевые коэффициенты (a, b, c, d), отражающие силу каузальных воздействий. Мы, таким образом, предполагаем, что наши переменные исчислимы, а функции, описывающие их, линейны. Вспомним, что путевой коэффициент a означает, что интервенция по увеличению Z на одну стандартную единицу увеличит X на a стандартных единиц (здесь я опущу технические подробности о том, что такое «стандартная единица»).

Поскольку Z и X ничем не осложнены, каузальное воздействие Z на X (т. е. a) можно оценить по наклону r_XZ линии регрессии X на Z. Аналогично переменные Z и Y не осложнены, потому что путь Z → X ← U → Y блокируется схождением по X. Следовательно, наклон линии регрессии Z на Y (r_ZY) будет равен каузальному воздействию на прямом пути Z → X → Y, которое представляет собой произведение путевых коэффициентов: ab. Итак, получаем два уравнения: ab = r_ZY и a = r_ZX. Если мы разделим первое уравнение на второе, то получим каузальное воздействие X на Y: b = r_ZY / r_ZX.

Вот так инструментальные переменные позволяют выполнить тот же волшебный фокус, который нам удавался с помощью поправок парадного входа: мы нашли воздействие X на Y, даже не будучи в состоянии контролировать осложнитель U или получить по нему данные.

Рис. 49. Общая схема для инструментальных переменных

В итоге мы предоставили лицам, принимающим решения, убедительные аргументы о том, что водозабор надо передвинуть вверх по течению, даже если лица, принимающие решения, продолжают верить в теорию миазмов. Обратите также внимание, что мы добыли информацию со второго уровня Лестницы Причинности (b) из информации с первого уровня (корреляции r_ZY и r_ZX). Мы смогли это сделать, потому что допущения, воплощенные в путевой диаграмме, каузальны по своей природе, особенно критически важное допущение, что между переменными U и Z стрелки нет. Если бы каузальная диаграмма была иной, например если бы Z была конфаундером связи X и Y, формула b = r_ZY / r_ZX не давала бы верной оценки воздействия Х на Y. На самом деле эти две модели невозможно различить никакими чисто статистическими методами, как бы велики ни были массивы данных.

Инструментальные переменные были известны до Революции Причинности, но каузальные диаграммы привнесли новую ясность в то, как они работают. Сноу воспользовался инструментальной переменной имплицитно, хотя у него и не было количественной формулы. Сьюалл Райт, несомненно, понимал пользу путевых диаграмм в этом случае; формула b = r_ZY / r_ZX может быть напрямую выведена из его метода путевых коэффициентов.

Похоже, что первым ученым помимо самого Сьюалла Райта, кто сознательно воспользовался инструментальными переменными, был не кто иной, как… его собственный отец Филип Райт!

Вспомним, что Филип Райт был экономистом, работавшим в организации, которая впоследствии станет Брукингским институтом. Его интересовало, как объем производства некоего товара изменится, если будет введена пошлина, которая поднимет на товар цену и предположительно увеличит объем производства. На экономическом языке его интересовала эластичность предложения.

В 1928 году Райт написал объемную монографию, посвященную подсчетам эластичности предложения для льняного масла. В замечательном приложении к этой работе он анализирует вопрос с помощью путевых диаграмм. Это был смелый ход: вспомним, что ни один экономист в мире тогда не видел и не слышал ничего подобного (на самом деле Райт-старший подстраховался и подтвердил свои подсчеты также и с помощью более традиционных методов).

На рис. 50 показана несколько упрощенная версия диаграммы Райта. В отличие от большинства диаграмм в книге, которую вы читаете, на этой имеются стрелки, идущие в обе стороны, но я бы советовал читателю не слишком нервничать по этому поводу. С помощью некоторых математических трюков мы легко сможем заменить цепь спрос → цена → предложение одной стрелкой спрос → предложение, и диаграмма тогда станет выглядеть как рис. 49 (хотя экономистам она будет после этого казаться менее приемлемой). Важно отметить, что Филип Райт осознанно ввел переменную урожай (льняного масла) с акра в качестве инструментальной, прямо влияющей на предложение, но не коррелирующей со спросом. Затем он применил метод анализа, подобный тому, который я только что привел, чтобы вычислить как влияние предложения на цену, так и влияние цены на предложение.