Энциклопедический словарь юного математика

------------------------------------------

Стечение этих обстоятельств и привело к тому, что в конце XVII в. двум ученым – И. Ньютону и Г. Лейбницу – независимо друг от друга удалось создать для решения названных задач математический аппарат, подытоживший и обобщивший отдельные результаты предшественников, среди которых и ученый древности Архимед и современники Ньютона и Лейбница – Б. Кавальери, Б. Паскаль, Д. Грегори, И. Барроу. Этот аппарат и составил основу математического анализа – нового раздела математики, изучающего различные развивающиеся процессы, т.е. взаимосвязи переменных величин, которые в математике называют функциональными зависимостями или, иначе, функциями. Кстати, сам термин «функция» потребовался и естественно возник именно в XVII в., а к настоящему времени он приобрел не только общематематическое, но и общенаучное значение.

Начальные сведения об основных понятиях и математическом аппарате анализа даны в статьях «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление».

В заключение хотелось бы остановиться только на одном общем для всей математики и характерном для анализа принципе математического абстрагирования и в этой связи объяснить, в каком виде математический анализ изучает переменные величины и в чем секрет такой универсальности его методов для изучения всевозможных конкретных развивающихся процессов и их взаимосвязей.

Рассмотрим несколько поясняющих примеров и аналогий.

Мы порой уже не отдаем себе отчета в том, что, например, математическое соотношение 2 + 2 = 4, написанное не для яблок, стульев или слонов, а в отвлеченном от конкретных объектов абстрактном виде, - выдающееся научное завоевание. Это математический закон, который, как показывает опыт, применим к различным конкретным объектам. Значит, изучая в математике общие свойства отвлеченных, абстрактных чисел, мы тем самым изучаем количественные соотношения реального мира.

Например, из школьного курса математики известно, что 12 = 6 + 6 = 4 + 4 + 4, поэтому в конкретной ситуации вы могли бы сказать: «Если мне для перевозки 12 т грунта не выделят два шеститонных самосвала, то можно запросить три четырехтонки и работа будет выполнена, а если дадут только одну четырехтонку, то ей придется сделать три рейса». Так привычные теперь для нас отвлеченные числа и числовые закономерности связаны с их конкретными проявлениями и приложениями.

Примерно так же связаны законы изменения конкретных переменных величин и развивающихся процессов природы с той абстрактной, отвлеченной формой-функцией, в которой они появляются и изучаются в математическом анализе.

Например, абстрактное соотношение y = 20x может быть отражением зависимости кассового сбора у кинотеатра от количества x проданных билетов, если 20 – это 20 копеек – цена одного билета. Но если мы едем по шоссе на велосипеде, проезжая 20 км в час, то это же соотношение можно истолковать как взаимосвязь времени x (часов) нашей велосипедной прогулки и покрытого за это время расстояния y (километров).

Вообще зависимость y = kx, где k - некоторый числовой коэффициент, встречается очень часто. В математике ее называют прямой пропорциональной зависимостью переменной величины y от переменной величины x или говорят также, что y - линейная функция от x. Какова бы ни была конкретная природа переменных величин x и yсвязанных соотношением y = kx, вы всегда можете утверждать, что, например, изменение x в несколько раз приводит к пропорциональному (т.е. во столько же раз) изменению величины y, а если k ≠ 0, то верно и обратное заключение. Значит, в частности, для увеличения кассового сбора кинотеатра в два раза вам придется привлечь вдвое больше зрителей, а для того, чтобы на велосипеде с той же скоростью проехать вдвое большее расстояние, вам придется ехать вдвое дольше.

Математика изучает и простейшую зависимость y = kx, и другие, значительно более сложные зависимости в отвлеченном от частной интерпретации, общем, абстрактном виде. Выявленные в таком исследовании свойства функции или методы изучения этих свойств будут носить характер общих математических приемов, заключений, законов и выводов, применимых к каждому конкретному явлению, в котором встречается изученная в абстрактном виде функция, независимо от того, к какой области знания это явление относится.

Итак, математический анализ как раздел математики оформился в конце XVII в. Предметом изучения в математическом анализе (как он представляется с современных позиций) являются функции, или, иначе, зависимости между переменными величинами.

С возникновением математического анализа математике стало доступно изучение и отражение развивающихся процессов реального мира; в математику вошли переменные величины и движение.

АРИФМЕТИКА