Этическая мысль: современные исследования

Основной тезис интуиционистов гласил, что существование в математике – это то же самое, что конструктивность или «построяемость». «В изучении умственных математических построений, – писал А. Гейтинг, – “существовать” должно означать то же самое, что и “быть построенным”». [60] Математические объекты не даны все сразу и не существуют реально, подобно, например, физическим объектам. Все они – результаты процессов построения, осуществляемых по средствам определенных конструктивных операций. Всякое иное понимание существования в математике объявлялось интуиционистами «метафизикой», не имеющей никакого отношения к математическому знанию. Причем, по их мнению, эти конструктивные операции являются мыслительной активностью, не зависящей ни от языка, ни от логики. Поэтому невозможно ни свести математику к логике, что пытались сделать сторонники логицизма, ни истолковать математику как язык математических символов, на что претендовали формалисты. Язык и логика являются, согласно интуиционистам, не средствами обоснования математических истин, а лишь средствами их сообщения. Единственным средством обоснования в математике являются построения. Эти идеи интуиционизма получили развитие в отечественной конструктивной математике А.А. Маркова, Н.А. Шанина и др., где понятие о конструктивных процессах было уточнено с помощью теории алгоритма.

Важнейший аспект интуиционистской (конструктивистской) математики заключался в переосмыслении понятия бесконечности. Бесконечность, утверждали интуиционисты, никогда не должна рассматриваться как законченная целокупность. Например, утверждение, что существует бесконечно много натуральных чисел, вовсе не означает, что все натуральные числа существуют сами по себе в какой-то области «идеальных объектов». Скорее всего, это утверждение означает, что для любого натурального числа мы можем установить большее число, например прибавив к нему единицу. Поэтому интуиционисты отвергли абстракцию актуальной бесконечности и заменили ее абстракцией потенциальной осуществимости , то есть вместо идеи завершенной бесконечности выдвинули идею бесконечности становящейся.

Хотя интуиционисты не придавали большого значения логике, в 1930 году А. Гейтинг построил формальнологическую систему, которая может применяться в конструктивной математике. Особенность интуиционистской (конструктивной) логики состоит в том, что в ней не всегда действуют некоторые законы классической логики: закон исключенного третьего, закон двойного отрицания, закон приведения к абсурду. Так, закон исключенного третьего, верный для конечных множеств, не действует для бесконечных множеств. По отношению к находящимся в становлении бесконечным множествам невозможно определить, какова будет последующая альтернатива, и, следовательно, если не удалось найти элемента с требуемыми свойствами, ни утверждение о существовании такого элемента, ни отрицание этого утверждения не является истинным. Согласно интуиционистам, логические законы зависят от того, к чему они применяются.

В нашей литературе уже высказывалась мысль, что выводы интуиционизма и конструктивизма имеют значение не только для математики, но и для конструктивных процессов любого рода: технического творчества, искусства, экономической и правовой деятельности и т. д. [61] А известный отечественный логик и математик А.С. Есенин-Вольпин предлагает использовать некоторые принципы интуиционизма даже в обосновании естественно-научного знания. Согласно ультраинтуиционизму (именно так Есенин-Вольпин называет свою программу), поскольку никакие естественно-научные утверждения не являются абсолютными истинами, в обосновании научного знания понятие несомненности должно быть заменено понятием неоспоримости . Доказательством суждения является любой «честный прием», делающий это суждение неоспоримым, причем особую роль Есенин-Вольпин отводит применению определений. «При всей логической запутанности этих проблем, – пишет он, – существует, по крайней мере, один честный – т. е. свободный от насилия и обмана – прием, делающий многие суждения неоспоримыми. Это – применение определений, к какой бы области они ни относились. Поскольку сукой , по определению, называется самка собаки, а связка есть, тоже по определению, означает названа, утверждение самка собаки есть сука , считается истинным в силу этих определений… При всей тривиальности этого примера здесь все же истина принимается на основании честного приема, делающего суждения неоспоримыми, и этот прием… я предлагаю считать доказательством этого суждения». [62] Из приведенной цитаты видно, что основания наук Есенин-Вольпин усматривает в номинальных, а не реальных определениях. Ультраинтуиционистская программа обоснования научного знания с неизбежностью влечет за собой своеобразный ультраноминализм.