Этюды для программистов

переменной [2(q_k + q_k+1), w]. Этот шаг можно выполнять, используя только сдвиги и сложения длинных чисел. Заметьте, что используется та же переменная [m, w], что и на шаге 9. Удалить [2р, Z_2t], …, [2p, Z₀] из стека W. Присвоить k значение k + 1 и вернуться к шагу 10.

17. (Проверка окончания.) Если А имеет значение стоп, то в переменной [m, w], уже вычисленной на шаге 9 или 16, находится результат алгоритма. В этом случае окончить работу.

18. (Сохранение значения.) Значением А должен быть код сохранить (если это не так, завершить алгоритм по ошибке). Присвоить k значение k + 1 и поместить [q_k + q_k−1, w] в стек W. Это значение w, только что вычисленное на шаге 9 или 16. Теперь вернуться к шагу 3.

Комментарии к алгоритму Тоома—Кука

Мы почти не обосновывали и не объясняли алгоритм; вам придется кое в чем поверить на слово. Причина отсутствия объяснений кроется в том, что они крайне длинны и математичны, и у нас просто не хватило бы места. Изложение алгоритма в большой степени опирается на монографию Кнута; если вы хотите ознакомиться с алгоритмом подробнее, обратитесь к этой книге. Мы все же дадим некоторые комментарии, возможно способствующие лучшему пониманию.

1. (Структура алгоритма.) Наша версия алгоритма отличается от описанной у Кнута в основном структурой циклов. На рис. 22.1 представлена общая схема верхнего уровня алгоритма Тоома—Кука[32].

Рисунок 22.1. Управляющая схема алгоритма Тоома—Кука.

2. (Таблицы размеров.) Значения массивов, вычисленные на шаге 2, показаны в табл. 22.1; число в колонке n_k равно наибольшему числу битов, которое может быть обработано алгоритмом при K = k. Очевидно, что предельное значение 10 для K не является очень серьезным ограничением. При желании этот предел можно повысить.

3. (Глубина стеков в первом цикле.) Максимальная глубина стеков U и V на шагах с 5-го по 8-й равна 2(r_K−1 + 1). Глубина стека С может возрастать до .

4. (Глубина стеков во втором цикле.) Общая глубина стека W может достигать . Управляющий стек может достигать глубины . На шагах 14, 15 и 16 верхняя часть стека W используется как массив. Этот массив может содержать максимум 2r_k−1 + 2 элементов.

5. (Размер исходных данных.) Для любого числа битов n в диапазоне n_i−1 + 1 ≤ n ≤ n_i алгоритм Тоома—Кука требует одинакового времени вычислений. Таким образом, сложность вычислений весьма негладко зависит от размера исходных данных. Поэтому при выполнении длинных вычислений имеет смысл подбирать число битов вблизи верхнего конца одного из диапазонов для n. Учитывайте, что для представления одной десятичной цифры требуется примерно 3⅓ бита.

6. (Как умножить два 32-разрядных числа?) На шаге 9 требуется умножить два 32-разрядных числа, получив 64-разрядное произведение, причем оба сомножителя обязательно положительны. На многих ЭВМ имеется аппаратная возможность такого умножения, но результат нельзя получить, пользуясь языками высокого уровня. Ну и, конечно, некоторые ЭВМ не имеют подобней аппаратуры. Поэтому для выполнения этого умножения нужно написать подпрограмму, причем она должна быть эффективной, поскольку время работы алгоритма определяется главным образом временем умножения 32-разрядных чисел. Вероятно, достаточно хорошим методом будет разбиение чисел на части и моделирование ручного способа умножения. Тем не менее если нужно получить произведение uv и число и записано в виде u₁·2¹⁶ + u₀, a v — в виде v₁·2¹⁶ + v₀, то произведением будет

(2³² + 2¹⁶)u₁v₁ + 2¹⁶(u1 − u0)(v0 − v1) + (2¹⁶ + 1)u₀v₀.

Вычисление по этой формуле выполняется при помощи только 16-битовых вычитаний и умножений, а также некоторых сдвигов и сложений. Обратите внимание, что одно умножение сэкономлено.

Что можно сказать относительно деления?

При вычислении предложенных рядов наряду с умножением используется деление чисел высокой точности. К счастью, при помощи алгоритма умножения удается выполнять деление почти так же быстро, как умножение. Для нахождения частного нужно приблизительно угадать число, обратное к делителю, скорректировать его, чтобы обратное стало точным, и затем умножить на делимое. Уточнение обратного осуществляется по методу Ньютона. Даны два числа [m, u] и [n, v]; мы считаем, что u ≥ v (хотя это предположение несущественно) и что n-й бит v равен 1 (т. е. у v нет старших нулей). Чем больше разница размеров и и v, тем более точным будет частное; разницу можно увеличить, умножая и на степень двойки. Отметим, что алгоритм деления будет неоднократно вызывать алгоритм умножения. Для нескольких первых из этих умножений можно воспользоваться обычной операцией умножения коротких чисел. Кроме того, все умножения и деления на степень двойки суть фактически сдвиги влево и вправо.

1. (Выбор размера обратного.) Найти наименьшее j, такое, что 2^j ≥ max (m, 2n). Присвоить к значение 2^j−1.

2. (Нормализация v.) Присвоить [k, v] значение 2^k−n [n, v]. На этом шаге мы сдвигаем v влево, чтобы оно заняло k битов, причем левый бит был бы равен 1. Присвоить [2, а] значение [2, 2].