Этюды для программистов

Игра кончается, когда не остается ни одного допустимого хода и ни одну карту нельзя положить в счетную стопку. Счет игры равен суммарному числу карт в счетных стопках. Как выяснилось, эта игра весьма популярна в Лас Вегасе (известном также под названием Город Просаженных Получек[29]). Колоду карт в казино можно получить по цене 1 долл. за карту (плюс 3 долл. за право начать игру), игрок же получает 5 долл. за каждую карту, вошедшую в счет. Таким образом, при счете 11 карт (за что причитается 55 долл.) игрок остается при своих, а каждая карта сверх того — его чистый выигрыш. Сомнительно, чтобы в казино действительно предлагались такие условия, но если это так, то мы вправе Подозревать, что владельцы должны иметь чудовищные прибыли. Каково в действительности ожидаемое число карт в счетных стопках? Насколько нечестными были бы при данных условиях доходы владельцев казино?

Анализ пасьянса

Каждой первоначальной раскладке соответствует в точности один оптимальный результат, хотя достичь его можно при различных последовательностях ходов. По-видимому, существует некоторая очень сложная вероятностная функция для вычисления ожидаемого значения оптимального результата. Но даже если бы удалось явно выписать эту функцию, она, несомненно, содержала бы столь большое количество членов, что вычислить ее было бы делом крайне затруднительным. Нельзя ли вместо этого попытаться сыграть достаточно много партий и извлечь интересующую статистику из полученных таким образом результатов? Эта идея применения моделирования для получения результата, который теоретически может быть непосредственно вычислен, уже встречалась в других главах книги именно потому, что, как и в данном случае, превращение компьютера в модель интересующего нас реального процесса оказывается весьма плодотворным. Какова необходимая последовательность действий при моделировании пасьянса? Во-первых, нужны подпрограммы для получения первоначальной раскладки, для проверки существования возможных ходов в данной позиции, для перемещения карт, для переворачивания верхней карты стопки, для перекладывания карты в счетную стопку — словом, процедуры, реализующие явный процесс раскладывания пасьянса. При помощи этих процедур можно вычислить результат любой заданной последовательности ходов. Для того чтобы найти оптимальный результат, реализуем на базе этих процедур стратегию поиска. После сдачи карт получаем некоторую начальную позицию. Стратегия поиска состоит в выполнении для каждой позиции, получающейся в ходе игры, следующих действий:

Подсчитать, сколько возможных ходов имеется для данной позиции. Их всегда не более семи.

Если возможных ходов нет, то данная последовательность ходов закончена, и можно записать ее счет. Установить новую текущую позицию, взяв верхний элемент со стека позиций, и возвратиться к началу цикла. Если стек позиций пуст, то закончить поиск.

Если есть только один ход, то выполнить его и вернуться к началу цикла.

Если ходов несколько, то упорядочить их (способ упорядочения не играет роли), записать в стек позиций текущую позицию, упорядоченный список возможных ходов, а также тот факт, что первый ход уже сделан. Выполнить первый ход и возвратиться к началу цикла. Заметим, что в шаге один, если позиция была взята со стека, неявно предполагается, что при подсчете числа возможных ходов вначале всегда ищется частично завершенный список возможных ходов.

Эта стратегия осуществляет поиск «сначала в глубину» по всем возможным последовательностям ходов с запоминанием еще не исследованных позиций в стеке. Поскольку проверяются все возможные последовательности ходов, то данная стратегия гарантирует нахождение некоторой, быть может не единственной, оптимальной последовательности.

Одна из неприятных для игрока особенностей этого пасьянса состоит в том, что довольно часто сразу после первоначальной раскладки не оказывается вообще ни одного возможного хода. Раскладка карт — это лишь некоторый сложный способ тасования. Несмотря на значительную вероятность быстрого окончания игры, следует ожидать все же, что дерево позиций может вырасти до очень больших размеров. Но дерево это на деле является графом, поскольку к одной и той же позиции вполне можно прийти после различных последовательностей ходов. Если некоторая позиция уже была однажды исследована, нет нужды рассматривать ее снова. Оптимальный результат игры не зависит от порядка ходов или от конкретной последовательности ходов, ведущей к нему. Если все уже исследованные позиции запоминать, то каждую вновь возникшую позицию можно во избежание повторной обработки сравнивать с этими старыми позициями. Сохранять нужно только сами позиции, без списка возможных ходов. Естественно, при этом возникает проблема поиска в множестве старых позиций.