Этюды для программистов

Тема. Напишите программу для работы с рациональными функциями, реализующую описанные выше возможности. Исходными данными должен быть список команд в свободном формате, а результатом — рациональные функции в формате, удобном для чтения. Переменные, константы и слова, входящие в запись команды, не должны переходить с одной строки на другую, но для самих команд и рациональных функций это вполне допустимо. Определение «удобного» формата печати довольно туманно, зато здесь вы можете продемонстрировать свое искусство в удовлетворении тех потребностей пользователей, которые они сами не могут сформулировать. Не забывайте про доказательство правильности результатов, выдаваемых программами. Одна из важных черт программ работы с рациональными функциями — это способность точно выполнять арифметические действия над целыми числами; позаботьтесь об этом в вашей программе.

Рекомендации исполнителю. Чтение программой команд и рациональных функций требует привлечения некоторых простых методов компиляции, в частности лексического анализа для распознавания символов и синтаксического анализа для построения внутреннего представления. Необходимые сведения содержатся в литературе, указанной в других главах. В процессе выполнения программы вам придется поддерживать расширяющуюся таблицу имен и значений; для этого также имеется простой метод. Самая трудная часть реализации — это выбор внутреннего представления для рациональных функций. Они, несомненно, должны представляться с помощью некоторого варианта списочной или древовидной структуры, но какого именно?

Одним из возможных представлений является стандартное арифметическое дерево, содержащее переменные и константы в листьях, а операции — во внутренних узлах. Такая форма представления особенно подходит для подстановки и алгебраических операций, но для печати она слишком беспорядочна. Другая возможность — дерево, содержащее на верхнем уровне числитель и знаменатель, на следующем уровне — одночлены и на еще более низком уровне — сомножители. Такое дерево будет легко напечатать, но с ним трудно работать. Что бы вы ни выбрали, не забывайте копировать структуры данных при выполнении подстановки, иначе более позднее изменение в подставляемой функции повлияет также и на функцию, в которую она подставлялась.

Инструментовка. Это еще одна задача, требующая списков или деревьев и рекурсивных процедур для их обработки. Для таких задач был создан Лисп, но наравне с ним подойдут и многие другие языки для работы со списками. Снобол несколько слабее по части внутренней обработки данных, но чрезвычайно мощные возможности по анализу вводимой и подготовке выводимой информации делают Снобол конкурентоспособным кандидатом. На самом деле здесь подойдет любой язык типа Паскаля или PL/I, так или иначе приспособленный для работы с текстами, имеющий определяемые структуры данных и рекурсивные процедуры.

Длительность исполнения. Одному исполнителю на 3 недели.

Развитие темы. В настоящее время широко используются многие системы алгебраических преобразований. Как правило, в их основе лежат функции, подобные описанным выше. Дальнейшее развитие происходит по трем направлениям: введение новых типов данных, новых операций и эвристических процедур, предназначенных для выполнения действий с нечетко определенным результатом. Новые типы данных взаимосвязаны с новыми операциями. Можно, например, добавить к рациональным функциям тригонометрические, показательные функции и логарифмы. В таком случае надо будет изменить операцию возведения в степень, чтобы она допускала любой операнд в качестве показателя степени, кроме того, понадобится операция логарифмирования, в которой будет указываться основание логарифмов и логарифмируемая функция. Отметим, что при введении новых типов данных и операций следует убедиться в замкнутости пространства функций, которые могут быть порождены произвольной последовательностью операций. Замкнутость означает, что всякую функцию, которую можно породить, можно также в принципе записать в команде Установить.