Этюды для программистов

3. (Главный внешний цикл.) Пока управляющий стек не пуст, выполнять шаги с 4-го по 18-й. Если на этом шаге управляющий стек окажется пустым, то остановиться с сообщением об ошибке; в управляющем стеке должен быть по крайней мере один элемент.

4. (Внутренний цикл разбиения и и v.) Пока к > 1, выполнять шаги с 5-го по 8-й.

5. (Установка параметров разбиения.) Установить k равным k − 1, s равным q_k, t равным r_k и р равным q_k−1 + q_k.

6. (Разбиение верхнего элемента стека С.) Длинное число [q_k + q_k+1, u] на вершине С следует рассматривать как t + 1 чисел длиной s битов каждое. Разбить [q_k + q_k+1, u] на длинные числа [s, U_t], [s, U_t−1], …, [s, U₁], [s, U₀]. Эти t + 1 чисел являются коэффициентами многочлена степени t, который следует вычислить в точках 0,1, …, 2t − 1, 2t no правилу Горнера. Для i = 0, 1, …, 2t − 1, 2t вычислить [р, X_i] по формуле

(…([s, U_t]i + [s, U_t−1])i+ … + [s, U₁])i + [s, U₀]

и сразу поместить [р, X_i] в стек U. Для выполнения умножений можно использовать подпрограмму умножения длинных чисел на короткие; никакой промежуточный или окончательный результат не потребует более p битов. Удалить [q_k + q_k+1, u] из стека С.

7. (Продолжение разбиения.) Выполнить над числом [m, v], находящимся сейчас на вершине стека С, ту же последовательность действий, что на шаге 6; полученные числа [p, Y₀], …, [p, Y_2t] поместить в стек V в порядке получения. Не забудьте удалить вершину стека С.

8. (Заполнение заново стека С.) Попеременно удалять (2t раз) вершины стеков V и U и помещать эти значения в стек С. В результате значения, вычисленные на шагах 6 и 7, будут помещены, чередуясь, в стек С в обратном порядке. После выполнения этого перемешивания верхняя часть стека С, рассматриваемая снизу вверх, будет иметь вид [р, Y_2t], [p, X_2t], …, [р, Y₀], [p, Х₀], на вершине будет [р, Х₀]. Поместить в управляющий стек один код операции интерполировать и 2t кодов операции сохранять и вернуться к шагу 4.

9. (Подготовка к интерполяции.) Присвоить к значение 0. Выбрать два верхних элемента стека С и поместить их в обычные переменные и и v. Оба числа и и v будут состоять из 32 битов. Используя некоторую другую подпрограмму умножения, вычислить [64, w] = [64, uv]. Это умножение можно выполнить аппаратно или с помощью подпрограммы, как вы найдете нужным.

10. (Интерполяция при необходимости.) Выбрать вершину управляющего стека в переменную А. Если значение А есть интерполировать, то выполнить шаги с 11-го по 16-й, в противном случае перейти к шагу 17,

11. (Организация интерполяции.) Поместить [m, w] в стек W (это может быть значение, полученное на шаге 9 или 16). Присвоить s значение q_k, t — значение r_k, р — значение q_k−1 + q_k. Обозначим верхнюю часть стека W, рассматриваемую снизу вверх, как

[2р, Z₀], [2p, Z₁], …, [2р, Z_2t−1], [2p, Z_2t],

последнее из этих значений — на вершине стека.

12. (Внешний цикл деления Z.) Выполнять шаг 13 для i = 1, 2, …, 2t.

13. (Внутренний цикл деления Z.) Присвоить [2p, Z_j] значение ([2р, Z_j] − [2р, Z_j−1])/i для j=2t, 2t − 1, …, i + 1, i. Все разности будут положительными, а все деления выполняются нацело, т. е. без остатка.

14. (Внешний цикл умножения Z.) Выполнять шаг 15 для i = 2t − 1, 2t − 2, …, 2, 1.

15. (Внутренний цикл умножения Z.) Заменить [2р, Z_j] на [2p, Z_j] − i[2p, Z_j+1] для j = i, i + 1, …, 2t − 2, 2t − 1. Все разности будут положительными, и все результаты поместятся в 2р битов.

16. (Образование нового w и начало нового цикла.) Присвоить значение многочлена

(… ([2р, Z_2t]2^s + [2p, Z_2t−1]2^s + … + [2p, Z_i]2^s + [2p, Z₀]

переменной [2(q_k + q_k+1), w]. Этот шаг можно выполнять, используя только сдвиги и сложения длинных чисел. Заметьте, что используется та же переменная [m, w], что и на шаге 9. Удалить [2р, Z_2t], …, [2p, Z₀] из стека W. Присвоить k значение k + 1 и вернуться к шагу 10.

17. (Проверка окончания.) Если А имеет значение стоп, то в переменной [m, w], уже вычисленной на шаге 9 или 16, находится результат алгоритма. В этом случае окончить работу.

18. (Сохранение значения.) Значением А должен быть код сохранить (если это не так, завершить алгоритм по ошибке). Присвоить k значение k + 1 и поместить [q_k + q_k−1, w] в стек W. Это значение w, только что вычисленное на шаге 9 или 16. Теперь вернуться к шагу 3.

Комментарии к алгоритму Тоома—Кука

Мы почти не обосновывали и не объясняли алгоритм; вам придется кое в чем поверить на слово. Причина отсутствия объяснений кроется в том, что они крайне длинны и математичны, и у нас просто не хватило бы места. Изложение алгоритма в большой степени опирается на монографию Кнута; если вы хотите ознакомиться с алгоритмом подробнее, обратитесь к этой книге. Мы все же дадим некоторые комментарии, возможно способствующие лучшему пониманию.

1. (Структура алгоритма.) Наша версия алгоритма отличается от описанной у Кнута в основном структурой циклов. На рис. 22.1 представлена общая схема верхнего уровня алгоритма Тоома—Кука[32].

begin