Читаем Этот правый, левый мир полностью

Есть и другой способ отличить в Лайнландии симметрию от асимметрии. Если фигура симметрична, то у нее всегда есть точка (только одна) в самом центре, которая делит фигуру на две идентичные половинки, причем одна из них есть отражение другой. Такая точка называется центром симметрии. Если мы поместим зеркало перпендикулярно линии в этой точке, оставшаяся часть фигуры вместе со своим отражением будет точно воспроизводить исходную фигуру независимо от того, в какую сторону обращено зеркало. Можно ли считать тогда, что одномерец с глазами с обоих концов симметричен? Да. Такую фигуру можно было бы наложить на зеркальное изображение, и у нее был бы центр симметрии, делящий фигуру на две зеркальные половинки.

Пусть в Лайнландии живут только три взрослых одномерца — А, Б и В, причем все они «смотрят» на восток. Если мы получим зеркально обращенную картину одного из них, скажем среднего, то все трое мгновенно заметят перемену. Теперь А и Б «глядят друг на друга», а Б и В «повернуты спинами» один к другому. Но если вся прямая окажется зеркально отраженной, то есть вся «вселенная» одномерцев, то сами они о происшедшей перемене не смогут узнать. В действительности для них просто не имеет смысла говорить о какой-либо перемене. Мы знаем, что направление линии изменилось на обратное, но знаем потому, что живем в 3-пространстве и можем наблюдать положение Лайнландии по отношению к внешнему миру. Но одномерцы не могут представить себе пространство размерности большей чем единица. Они знают только свой собственный мирок, ту единственную прямую, на которой живут. С их точки зрения, никакого изменения не произошло. Только в том случае, когда операции зеркального отражения подвергается какая-то часть их «вселенной», одномерцы смогут заметить перемену.

Во Флатландии, в 2-пространстве планиметрии, все обстоит интереснее, но в отношении зеркальной симметрии предметы ведут себя практически так же, как в Лайнландии. На рис. 5 наш художник дал стилизованное изображение асимметричного двумерца и его отражения в вертикальном зеркале. (Оно изображено объемно, в 3-пространстве, но зеркало двумерца — это всего лишь прямая линия, которую он видит перед собой.) Совместить двумерца с зеркальным изображением невозможно. Если бы мы могли его взять с плоскости, как бумажного солдатика, перевернуть и снова положить в перевернутом виде, то все это можно было бы произвести в 3-пространстве, а не в 2-пространстве Флатландии. Что же произойдет, если держать зеркало над двумерцем или под ним, как показано на рис. 6? В этом случае поменяются местами верх и низ, потому что зеркало перпендикулярно вертикальной оси. Но изображение в зеркале получится таким же, как и прежде; изменится только его положение на плоскости. Мы можем взять любое из зеркальных изображений на рис. 6 и, перевернув, совместить их точка в точку с зеркальным изображением на рис. 5. Где именно помещено зеркало — не имеет ни малейшего значения, так как отражение асимметричного двумерца всегда получается одинаковым.

Рис. 5. Двумерец и его отражение в вертикальном зеркале.

Нетрудно изобразить разные геометрические фигуры Флатландии, которые являются симметричными и не меняются при отражении в зеркале. Квадраты, окружности, эллипсы, равносторонние и равнобедренные треугольники, значки карточных мастей — бубновой, червонной, пиковой и трефовой — все они при отражении остаются неизменными. В Лайнландии, как мы уже знаем, у каждой симметричной фигуры есть точка, которая делит фигуру на зеркальные половинки. С симметричными фигурами Флатландии то же самое делает прямая линия, называемая осью симметрии. На рис. 7 приведены примеры различных симметричных фигур на плоскости. Оси симметрии указаны пунктирными линиями. Обратите внимание на то, что у фигуры может быть разное число осей симметрии — от одной до бесконечности. Круг — единственная плоская фигура, имеющая бесконечное число таких осей. Другие фигуры могут иметь хоть и не бесконечное, но произвольно большое число подобных осей. Если поместить зеркало так, чтобы его край совпадал с осью симметрии, то оставшаяся перед зеркалом часть фигуры вместе с отражением, как и в Лайнландии, точно повторит форму исходной фигуры.

Рис. 6. Двумерец, и его отражения в горизонтальных зеркалах.

Любая плоская фигура, обладающая по крайней мере одной осью симметрии, считается симметричной, поскольку ее можно всеми точками наложить на зеркальное изображение. Математикам известны и многие другие виды симметрии (о некоторых из них пойдет речь в гл. 2), но в этой книге мы постоянно будем иметь дело только с симметрией отражения. Называя фигуру «симметричной» (независимо от числа измерений), мы всегда будем иметь в виду только одно: эта фигура идентична своему зеркальному изображению, то есть ее можно наложить на зеркальное изображение, не прибегая к поворотам в пространстве более высокой размерности.

Перейти на страницу:

Все книги серии В мире науки и техники

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное