Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

Все это легко понять, если представить, как выглядит Земля из космоса. «Строго на восток» в странствиях по глобусу не реализуется, поскольку направления «север» и «восток» — не фиксированные. При перемещении из Нью-Йорка в Мадрид направления, называемые «на восток» или «на север», вращаются в трехмерном пространстве. Кратчайшая траектория между Нью-Йорком и Мадридом — или между любыми другими двумя точками на земном шаре — кривая, называемая большим кругом (это круг на земном шаре, центр которого совпадает с центром Земли; это самые большие окружности, какие можно изобразить на земной поверхности, отсюда и название). Большие круги — аналоги линий Пуанкаре во вселенной Пуанкаре, линии, которые мы по привычке называем прямыми, и они выполняют роль прямых в евклидовых аксиомах. Линии широт — большие круги, равно как и экватор, но лишь он — кривая с постоянной широтой (центры всех остальных кругов с постоянной широтой располагаются выше или ниже по оси Земли).

_{Нью-Йорк — Мадрид}

Вид из космоса местным вроде Неевклиды не ведом. Для нее «центра Земли» не существует, а также не существует «космоса», и Гаусс доказал, что такое возможно. Неевклида, воодушевленная результатами Алексея и Николая, заключила бы, что пространство, в котором она живет, — неевклидово: не гиперболическое, а похожее на поверхность шара, т. е. эллиптическое.

В неевклидовом пространстве все большие круги пересекаются. Суммы углов в треугольнике всегда больше 180° (в гиперболическом пространстве — меньше). В треугольнике, образованном экватором и двумя линиями долгот, соединяющих экватор с Северным полюсом, к примеру, сумма углов составляет 270°. Как и в случае гиперболического, это пространство на малых расстояниях тоже смахивает на евклидово, оттого отклонения так долго и не замечали. Например, превышение суммы углов в треугольнике привычных 180° уменьшается по мере уменьшения самих треугольников.

Геометрия эллиптического пространства, называемая сферической, хорошо известна еще с античных времен. Большие круги еще тогда знали как геодезические. Геометрические формулы, описывающие части сферических треугольников, — уже обнаружены и применялись в картографии. Но эллиптические пространства не вписывались в евклидову парадигму, и открытие эллиптичности пространства земного шара досталось одному из учеников Гаусса — Георгу Фридриху Бернхарду Риману. Он совершил это открытие, когда жизнь Гаусса клонилось к закату, но именно оно, как никакое иное, в конце концов привело к революции искривленного пространства.

Глава 21. Повесть о двух инопланетянах

Георг Риман[179] родился в 1826 году в маленькой деревне Брезеленц, неподалеку от мест, где появился на свет Гаусс. В семье Риманов было шестеро детей. Двум его сестрам, да и ему самому, выпала судьба умереть молодыми. Его мать скончалась, когда он был еще мал. До десяти лет его обучал дома отец, лютеранский пастор. Риман больше всего любил историю, особенно — польского национального движения. Серьезный юный Георг явно не производил впечатления души компании — он ею и не был. Напротив — выказывал патологическую застенчивость и скромность. И гениальность. Приверженцы конспирологических теорий предположили бы, имея в виду Гаусса и Римана, что в начале XIX века под немецким Гамбургом некая высшая инопланетная раса основала колонию и подбросила двум нищим местным семьям гениальных младенцев. И хотя никаких анекдотов о гениальном детстве Римана, в отличие от детства Гаусса, не сохранилось, похоже, Риман уже тогда был чуточку умнее, чем положено всем нам.

Когда Риману исполнилось девятнадцать, директор его гимназии, человек по имени Шмальфус, дал ему кое-что занимательное — книгу Адриена Мари Лежандра[180] «Theorie des nombres» («Теория чисел»), что математически эквивалентно выдаче юному Риману штанги для установления мирового рекорда по жиму от груди стоя. Штанга эта весила 859 страниц — обширных, плотных, набитых от края до края абстрактной теорией. Грыжа гарантирована: лишь чемпион мог бы справиться с таким весом — при этом обильно потея и кряхтя. Для Римана же эта книга оказалась суперлегким весом, судя по всему, — захватывающим чтением, не требующим никакой сосредоточенности. Он вернул том через шесть дней с комментарием вроде: «Приятно было почитать». Через несколько месяцев Риман сдал экзамен по содержанию книги — с отличным результатом. Позднее Георг внесет свой фундаментальный вклад в теорию чисел.

В 1846 году все еще девятнадцатилетний Риман поступил в Университет Гёттингена, где преподавал Гаусс. Риман начал студентом-теологом — вероятно, рассчитывая молиться за угнетенных поляков. Однако вскоре переключился на предмет своей первой любви — математику. Недолго побыв в Берлине, в 1849 году Риман вернулся в Гёттинген, чтобы завершить работу над диссертацией. В 1851 году он сдал свой труд на суд в том числе и Гаусса, который к тому времени уже стал легендой и был столь же легендарно строг со своими студентами.