Эврика! Радость открытия. Архимед

Архимед	Математическая запись	Название
Единица	1 = 100	Один
Десяток	10 = 101	Десять
Сотня	100 = 102	Сто
Тысяча	1000 = 103	Тысяча
Мириада (единица мириад)	10000 = 104	Десять тысяч
Десяток мириад	10-10000 = 105	Сто тысяч
Сотня мириад	100-10 000 = 106	Миллион
Тысяча мириад	1000-10 000 = 107	Десять миллионов
Мириада мириад	10000-10000 = 108	Сто миллионов

Таким образом, мы имеем систему, основой которой является 10⁸ — число, именуемое октадой. Каждый раз при превышении этого цикла число переходит из одного разряда в другой со следующими названиями.

От 1 до 108 - 1	«Первые числа», первое число этого разряда — 1
От 108 до 1016-1	«Вторые числа», первое число этого разряда —108
От 1016 до 1024 - 1	«Третьи числа», первое число этого разряда —1016
и так далее

Следовательно, мы можем дойти до 10⁸ в степени 10⁸, и все это — числа «первого периода». Дальше счет может перейти ко второму периоду, третьему периоду и так далее. Наибольшее число, которое называет Архимед, это «мириадно мириадный» период, то есть

или же единица с 80 трлн нулей (80000 10¹²) ... Действительно невероятное число!

В заключении «Исчисления песчинок» Архимед приходит к утверждению, что во Вселенной может поместиться 1000 мириад восьмых чисел (10⁵⁶) песчинок. Это значит, что число песчинок, которыми можно заполнить Вселенную, составляет 10³ • 10⁴ • 10⁵⁶ = 10⁶³.

Сегодня такие величины в некоторых областях науки и технологии обычны. Во Вселенной, например, содержатся 10⁸² протонов, а самое большое из имеющих название число — это гугол, то есть 10¹⁰⁰ (1 и сотня нулей). Термин гугол придумал в 1938 году Милтон Сиротта, девятилетний внук американского математика Эдварда Казнера. Любопытный факт: название поисковой системы Google произошло как раз от английского написания слова «гугол» (googol). А в Калифорнии штаб-квартира Google называется Googleplex, что напоминает о гуголплексе — термине, который Казнер использовал для числа 10^googol, то есть 10 в степени, которая выражается единицей со 100 нулями.

ГЛАВА 3 Защитник кругов

Эпоха Архимеда представляет собой водоворот открытий и исследований в области математики. Многие талантливые ученые посвятили себя этой науке, и все же Архимед выделяется среди них тем, что он ввел новые методы и анализировал уже известные результаты со своей собственной точки зрения. Он вошел в историю благодаря вычислению приближения числа п и улучшению метода исчерпывания, необходимого для определения объемов и площадей криволинейных геометрических фигур.

Хотя широкая публика знает Архимеда как физика и механика, большинство его научных трудов посвящены математике. Он даже просил выбить на его могиле символы одной из решенных им геометрических задач. Ученый занимался практически всеми проблемами, актуальными для его времени; находил новые доказательства и создавал новые методы. Он поднял методы исчерпывания и доведения до абсурда до невиданных в ту эпоху высот. Также Архимед вплотную подошел к исчислению бесконечно малых величин и интегральному исчислению и смог использовать свои открытия в области рычага для получения новых математических результатов. В этой главе мы рассмотрим некоторые из важных достижений, описанных в его трудах, начиная с тех методов, которые ученый применял в своих исследованиях для анализа особых случаев.

Методы Архимеда

Научный успех Архимеда почти полностью основан на используемой им методологии. В целом применяемые ученым методы можно разделить на две группы: первая направлена на поиск интересующего его решения (механический метод), а вторая — на доказательство верности полученного результата. В работах Архимеда часто встречаются цитаты из текстов Евклида и других более ранних математиков, то есть он приводит многие решения как само собой разумеющееся и для краткости говорит о них в своих трудах, словно они всем известны. Таким образом, мы видим математика, который работает с достойными доверия источниками и умеет извлекать из них материал, необходимый для его собственных исследований. В наши дни для любых доказательств мы используем алгебраический язык (формулы с буквами, цифрами и математическими символами), но в рассматриваемое нами время, когда жил Архимед, такого языка еще не существовало. Вот почему его тексты нелегки для современного читателя, ведь все его рассуждения основываются на чисто геометрических понятиях. Далее мы представим некоторые математические открытия Архимеда и постараемся реконструировать путь его мысли, хотя для этого нам и придется прибегать к языку алгебры.