Эврика! Радость открытия. Архимед

Если взять несколько величин, образующих непрерывную пропорцию в отношении четырех к одному, то все эти величины вместе, сложенные с третьей частью наименьшей, составят четыре трети наибольшей.

Утверждение 24

Всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же основание и равную высоту.

О ПЛАВАЮЩИХ ТЕЛАХ

Книга I

Предположим, что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными и что каждая из ее частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается еще чем-нибудь другим.

Утверждение 2

Поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли.

Утверждение 3

Тела, равнотяжелые с жидкостью, будучи опущены в эту жидкость, погружаются так, что никакая их часть не выступает над поверхностью жидкости, и не будут двигаться вниз.

Утверждение 4

Тело более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, не погружается целиком, но некоторая часть его остается над поверхностью жидкости.

Утверждение 5

Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружается настолько, чтобы объем жидкости, соответствующей погруженной (части тела), имел вес, равный весу всего тела.

Утверждение 6

Тела более легкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиваться вверх с силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая равный объем с телом, будет тяжелее этого тела.

Утверждение 7

Тела, более тяжелые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа и в жидкости станут легче на величину веса жидкости в объеме, равном объему погруженного тела.

Книга II

Утверждение 1

Если какое-нибудь тело, более легкое, чем жидкость, опустить в эту жидкость, то оно по тяжести будет находиться в том же отношении с жидкостью, какое погруженный объем имеет ко всему объему.

СТОМАХИОН

Поскольку так называемый стомахион может служить предметом разнообразных теорий относительно перестановок составляющих его фигур, то я счел необходимым сначала рассказать о его величине, об отдельных его частях, на которые он разделяется, о том, чему каждая из них может быть уподоблена...

МЕТОД МЕХАНИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ

Архимед приветствует Эратосфена.

[...] Зная, что ты являешься, как я всегда говорю, ученым человеком и по праву занимаешь выдающееся место в философии, а также при случае можешь оценить и математическую теорию, я счел нужным написать тебе и в этой же самой книге изложить некоторый особый метод, благодаря которому ты получишь возможность при помощи механики находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем. Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не является доказательством; однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить изыскания, ничего не зная.

[...] Поэтому я и решил написать об этом методе и обнародовать его, с одной стороны, для того чтобы не оставались пустым звуком прежние мои упоминания о нем, а с другой — поскольку я убежден, что он может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову.

КНИГА ЛЕММ

Утверждение 4

Пусть АВС будет полукруг; построим на диаметре АС два полукруга AD и DC и восставим перпендикуляр DB\ получающаяся фигура, которую Архимед называет «арбелос» (это будет площадь, ограниченная дугой большого полукруга и двумя окружностями малых кругов), будет равна кругу, диаметром которого является перпендикуляр DB.

Утверждение 5

Если дан полукруг АВ, на его диаметре где-нибудь взята точка С, на диаметре построены два полукруга Л С и СВ, из С восставлен перпендикуляр CD к АВ и с обеих сторон (от него) построены два круга, касающиеся как этого перпендикуляра, так и обоих полукругов, то эти два круга будут равны.

Утверждение 7

Если около квадрата один круг описан, а другой вписан в него, то описанный круг будет вдвое больше вписанного.

Утверждение 14