Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм

называем его потоком, но, конечно, это уже не течение какой-то жидкости, потому что электрическое поле нельзя считать ско­ростью чего-то. Оказывается все же, что математическая вели­чина, определяемая как средняя нормальная компонента поля, по-прежнему имеет полезное значение. Тогда мы говорим о потоке электричества, также определяемом уравнением (1.4). Наконец, полезно говорить и о потоке не только сквозь замкну­тую, но и сквозь любую ограниченную поверхность. Как и прежде, поток сквозь такую поверхность определяется как средняя нормальная компонента вектора, умноженная на пло­щадь поверхности. Эти представления иллюстрируются фиг. 1.3. Другое свойство векторных полей касается не столько по­верхностей, сколько линий. Представим опять поле скоростей, описывающее поток жидкости. Можно задать интересный вопрос: циркулирует ли жидкость? Это значит: существует ли вращательное ее движение вдоль некоторого замкнутого кон­тура (петли)? Вообразите себе, что мы мгновенно заморозили жидкость повсюду, за исключением внутренней части замкну­той в виде петли трубки постоянного сечения (фиг. 1.4). Снаружи трубки жидкость остановится, но внутри она может продолжать двигаться, если в ней (в жидкости) сохранился импульс, т. е. если импульс, который гонит ее в одном направлении, больше импульса в обратном. Мы определяем величину, называемую циркуляцией, как скорость жидкости в трубке, умноженную на длину трубки. Опять-таки мы можем расширить наши пред­ставления и определить «циркуляцию» для любого векторного поля (даже если там нет ничего движущегося). У всякого век­торного поля циркуляция по любому воображаемому замкнутому контуру определяется как средняя касательная компонента вектора (с учетом направления обхода), умноженная на про­тяженность контура (фиг. 1.5):

Циркуляция = (Средняя касательная компонента)·(Длина пути обхода). (1.5)

Вы видите, что это определение действительно дает число, про­порциональное циркуляции скорости в трубке, просверленной в быстрозамороженной жидкости.

Пользуясь только этими двумя понятиями — понятием о потоке и понятием о циркуляции,— мы способны описать все законы электричества и магнетизма. Вам, быть может, трудно будет отчетливо понять значение законов, но они дадут вам некоторое представление о том, каким способом в конечном счете может быть описана физика электромагнитных явлений.

§ 4. Законы электромагнетизма

Первый закон электромагнетизма описывает поток электри­ческого поля:

где e₀ — некоторая постоянная (читается эпсилон-нуль). Если внутри поверхности нет зарядов, а вне ее (даже совсем рядом) есть, то все равно средняя нормальная компонента Е равна нулю, так что никакого потока через поверхность нет. Чтобы показать пользу от такого типа утверждений, мы дока­жем, что уравнение (1.6) совпадает с законом Кулона, если только учесть, что поле отдельного заряда обязано быть сфери­чески симметричным. Проведем вокруг точечного заряда сферу. Тогда средняя нормальная компонента в точности равна значе­нию Е в любой точке, потому что поле должно быть направлено по радиусу и иметь одну и ту же величину во всех точках сферы. Тогда наше правило утверждает, что поле на поверхности сферы, умноженное на площадь сферы (т. е. вытекающий из сферы поток), пропорционально заряду внутри нее. Если увеличивать радиус сферы, то ее площадь растет, как квадрат радиуса. Произведение средней нормальной компоненты электрического поля на эту площадь должно по-прежнему быть равно внутрен­нему заряду, значит, поле должно убывать, как квадрат рас­стояния; так получается поле «обратных квадратов».

Если взять в пространстве произвольную кривую и измерить циркуляцию электрического поля вдоль этой кривой, то ока­жется, что она в общем случае не равна нулю (хотя в кулоновом поле это так). Вместо этого для электричества справедлив вто­рой закон, утверждающий, что

И, наконец, формулировка законов электромагнитного поля будет закончена, если написать два соответствующих уравнения для магнитного поля В:

(1.8)

А для поверхности S, ограниченной кривой С:

Появившаяся в уравнении (1.9) постоянная с² — это квадрат скорости света. Ее появление оправдано тем, что магнетизм по существу есть релятивистское проявление электричества. А константа e_о поставлена для того, чтобы возникли привычные единицы силы электрического тока.

Уравнения (1.6) — (1.9), а также уравнение (1.1) — это все законы электродинамики.

Как вы помните, законы Нью­тона написать было очень просто, но из них зато вытекало мно­жество сложных следствий, так что понадобилось немало времени, чтобы изучить их все. Законы электромагнетизма написать несравненно трудней, и мы должны ожидать, что следствия из них будут намного более запутаны, и теперь нам придется очень долго в них разбираться.