Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Другая возможность, допускающая состояние равновесия,— это когда r зависит только от р. Однако на этом мы расста­немся с гидростатикой, ибо она не так интересна, как дви­жущаяся жидкость.

§ 2. Уравнение движения

Сначала обсудим движение жидкости с чисто абстрактной теоретической стороны, а затем рассмотрим некоторые частные примеры. Чтобы описать движение жидкости, мы должны задать в каждой точке ее некие свойства. Например, вода (бу­дем называть жидкость просто «водой») в разных местах движется с различными скоростями. Следовательно, чтобы определить характер потока, мы должны в каждой точке и в любой момент времени задать три компоненты скорости. Если нам удастся найти уравнения, определяющие скорость, то мы будем знать, как в любой момент движется жидкость. Но скорость — не единственная характеристика жидкости, которая меняется от точки к точке. Только что мы изучали изменение давления от точки к точке. А есть еще и другие пере­менные. От точки к точке может меняться также плотность. Вдобавок жидкость может быть проводником и переносить электрический ток, плотность которого j изменяется от точки к точке как по величине, так и по направлению. От точки к точке может меняться температура, магнитное поле и т. д. Так что число полей, необходимых для полного описания ситуа­ции, зависит от сложности задачи. Очень интересные явления возникают, когда доминирующую роль в определении поведе­ния жидкости играют токи и магнетизм. Эта наука носит назва­ние магнитогидродинамика. В настоящее время ей уделяется очень большое внимание. Но мы не собираемся рассматривать эти весьма сложные случаи, ибо имеется немало менее сложных, но столь же интересных явлений, и даже этот более элементар­ный уровень будет достаточно труден.

Возьмем случай, когда нет ни магнитного поля, ни прово­димости и нам, кроме того, не следует беспокоиться о темпера­турах, ибо мы предположим, что температура в любой точке единственным образом определяется плотностью и давлением. Фактически мы уменьшим сложность нашей работы, допустив, что плотность постоянна, т. е. что жидкость существенно не­сжижаема. Другими словами, мы предполагаем, что изменения давлений настолько малы, что производимыми ими изменениями плотности можно пренебречь. Если бы это было не так, то в дополнение к явлениям, рассмотренным здесь, необходимо было бы учитывать и другие явления, скажем распространение звуковых или ударных волн. Распространение звуковых и ударных волн мы уже в какой-то степени изучали, так что при нашем рассмотрении гидродинамики мы изолируемся от этих явлений, допустив, что приближенно плотность r посто­янная. Легко определить, когда такое предположение о по­стоянстве r будет хорошим. Если скорость потока гораздо меньше скорости звуковой волны, то нам не нужно заботиться об изменениях плотности. Тот факт, что вода ускользает от нас при попытке понять ее, не связан с этим приближе­нием постоянной плотности. Усложнения, которые все-таки позволили ей остаться непонятой, мы обсудим в следующей главе.

Общую теорию жидкостей мы должны начать с уравнения состояния жидкости, связывающего давление и плотность; в нашем приближении оно имеет очень простой вид:

r=const.

Это и есть первое уравнение для наших переменных. Следую­щее соотношение выражает сохранение вещества. Когда вещество утекает из какой-то точки, то количество его в этой точке должно уменьшаться. Если скорость жидкости равна v, то масса, которая протекает за единичное время через единицу площади поверхности, равна нормальной к поверхности компо­ненте rv. Подобное соотношение у нас получалось уже в тео­рии упругости. Из знакомства с электричеством мы знаем также, что дивергенция такой величины определяется скоростью уменьшения плотности. Также и здесь уравнение

выражает сохранение массы жидкости: это гидродинамическое уравнение непрерывности. В нашем приближении, т. е. в при­ближении несжимаемой жидкости, плотность r постоянна и уравнение непрерывности превращается просто в

(С·v)=0. (40.3)

Дивергенция скорости жидкости v, как и магнитного поля В, равна нулю. (Гидродинамические уравнения очень часто ока­зываются аналогичными уравнениям электродинамики; вот почему мы сначала изучали электродинамику. Некоторые предпочитают другой путь, считая, что сначала следует изу­чать гидродинамику, чтобы потом было легче понять электри­чество. На самом же деле электродинамика гораздо проще, чем гидродинамика.)

Следующее уравнение мы получим из закона Ньютона; оно говорит нам, как происходит изменение скорости в результате действия сил. Произведение массы элемента объема жидко­сти на ускорение должно быть равно силам, действующим на этот элемент. Выбирая в качестве элемента объема единичный объем и обозначая силу, действующую на единичный объем, через f, получаем

rX(Ускорение)=f.