Феномен науки

Очень поучительно сравнить математические работы Декарта и Ферма. Как математик Ферма был не менее, а, пожалуй, более одаренным, чем Декарт. Это видно из его замечательных работ по теории чисел. Но он был восхищенным поклонником греков и продолжателем их традиций. Свои открытия по теории чисел Ферма изложил в замечаниях на полях «Арифметики» Диофанта. Его работы по геометрии возникли в результате усилий доказать некоторые положения, на которые Папп ссылался как на принадлежащие Аполлонию, не приводя, однако, доказательства. Размышляя над этими проблемами, Ферма стал систематически использовать представление положения точки на плоскости длинами двух отрезков — абсциссы и ординаты и представление кривой в виде уравнения, связывающего эти отрезки. Идея эта с геометрической точки зрения отнюдь не была новой: она является стержневой не только у Аполлония, но уже у Архимеда и восходит к еще более древним авторам. Архимед описывает конические сечения через их «симптомы», т. е. пропорции, связывающие абсциссы и ординаты точек. Возьмем, например, эллипс с большой осью AB (рис. 11.3). Перпендикуляр PQ, опущенный из некоторой точки эллипса Р на ось AB, называется «ординатой», а отрезки AQ и QB — «абсциссами» этой точки (оба термина — латинские переводы греческих терминов Архимеда). Отношение площади квадрата, построенного на ординате, к площади прямоугольника, построенного на двух абсциссах, одинаково для всех точек Р, лежащих на эллипсе. Это и есть «симптом» эллипса, т. е. по существу уравнение. Его можно записать в виде

y² : (x₁ × x₂) = const.

Рис. 11.3. Ордината и абсциссы эллипса

11.11. Путь к открытию

Ферма был только математиком. Декарт был прежде всего философом. Его размышления выходили далеко за пределы математики и имели дело с проблемами сущности бытия и познания. Декарт — основоположник философии рационализма, утверждающей неограниченную способность человека познавать мир, исходя из некоторого числа интуитивно ясных истин и продвигаясь, шаг за шагом вперед с помощью определенных правил или методов. Эти два слова — ключевые для всей философии Декарта. «Правила для руководства ума» — так называется его первое философское сочинение, «Рассуждение о методе» — второе. «Рассуждение о методе» было издано в 1637 г. в одном переплете с тремя физико-математическими трактатами: «Диоптрика», «Метеоры» и «Геометрия» и предшествовало им как изложение философских принципов, лежащих в основе следующих частей. Декарт выдвигает в этом сочинении следующие четыре принципа исследования:

1. Не признавать истинным ничего, кроме того, что с очевидностью познается мною таковым, т. е. тщательно избегать поспешности и предубеждений и принимать в свои суждения только то, что представляется моему уму так ясно и отчетливо, что ни в коем случае не возбуждает во мне сомнения.

2. Разделять каждое из рассматриваемых мною затруднений на столько частей, на сколько возможно и сколько требуется для лучшего их разрешения.

3. Мыслить по порядку, начиная с предметов наиболее простых и легко познаваемых, и восходить мало-помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существование порядка даже среди тех, которые не следуют естественно друг за другом.

4. Составлять повсюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

Руководствуясь этими принципами, Декарт и приходит к своим математическим идеям. Вот как он сам описывает этот путь в «Рассуждении о методе»: