Феномен науки

Для обозначения структуры связей пользуются скобками подобно тому, как это делается в алгебре для обозначения порядка выполнения арифметических действий. Так, например, высказывание ¬A ∧ B означает «A неверно, а B верно», а высказывание ¬(A ∧ B) — «неверно, что A и B оба верны». И так же, как в алгебре, для уменьшения числа скобок устанавливается порядок старшинства связок по силе связи. Выше мы перечислили связки в порядке ослабления связи. Например, конъюнкция связывает сильнее, чем импликация, поэтому высказывание A ⊃ B ∧ C понимается как A ⊃ (B ∧ C), но не как (A ⊃ B) ∧ C. Это соответствует тому, что в алгебре a + b × c означает a + (b × c), но не (a + b) × c.

Приведем несколько примеров составных высказываний.

Известная скороговорка утверждает: «цапля чахла, цапля сохла, цапля сдохла». Это высказывание можно записать в виде: «цапля чахла» ∧ «цапля сохла» ∧ «цапля сдохла».

Соотношение 0 < Z < 1 есть конъюнкция «Z > 0» ∧ «Z < 1», a соотношение |Z| > 1 — дизъюнкция «Z > 1» ∨ «Z < -1». Определение логической связки ≡ данное выше, можно записать так:

[(A ≡ B) ⊃ (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)] ∧ [(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) ⊃ (A ≡ B)]

Предоставляем читателю перевести на обычный язык следующее высказывание:

«Свет включен» ∧ «Лампочка не горит» ⊃ «Нет электричества» ∨ «Перегорели пробки» ∨ «Перегорела лампочка».

Если считать, что высказывания могут быть только истинными или ложными и, сверх этого, о высказывании ничего сказать нельзя, то перечисленных связок достаточно, чтобы выразить все мыслимые конструкции из высказываний. Достаточно даже двух связок, например отрицания и конъюнкции или отрицания и дизъюнкции. Такая ситуация имеет место, в частности, в отношении утверждений математики. Поэтому в математической логике других связок не используется.

Однако естественный язык отражает большее разнообразие в оценке высказываний, чем просто деление их на истинные и ложные. Например, высказывание можно рассматривать как бессмысленное или как недостоверное, хотя и возможное («в этом лесу, наверное, есть волки»). Этим вопросам посвящены специальные разделы логики, в которых находятся другие связки. Большого значения для современной науки эти разделы (в отличие от классической математической логики) не имеют, и мы их касаться не будем.

6.8. Предикаты

Конструкция, сопоставляющая нескольким объектам высказывание, называется предикатом. Предикаты делятся на одноместные, двухместные, трехместные и т.д. в соответствии с числом объектов, которого они требуют. Для записи их используют функциональные обозначения. Предикат можно записать в виде функции с незаполненными местами для аргументов, например

P( ), L( , ), I( , , )

или же в виде

P(x), L(z, y), I(x, y, z)

оговорив, что x, y, z — предметные переменные, т. е. символы, которые в конечном счете должны быть заменены на объекты, но какие — пока неизвестно. Впрочем, вторая форма изображает, строго говоря, уже не предикат, а высказывание, содержащее предметные переменные. Вместо больших букв мы будем также использовать словосочетания в кавычках, например,

«красный»(x), «между»(x,у, z)

и специальные математические знаки, например,

<(х, у).

Одноместный предикат выражает свойство объекта, предикат более чем с одним аргументом — отношение между объектами. Если места для аргументов в предикате заполнены, то мы имеем дело с высказыванием, утверждающим наличие данного свойства или отношения. Высказывание

«красный»(«мяч»)

означает, что «мяч» обладает свойством «красный». Конструкция

<(a, b)

равнозначна соотношению (неравенству) a < b.

Соединяя предикатные конструкции логическими связками, мы получаем более сложные высказывания. Например, соотношение |z| > 1, которое мы раньше записывали, не расчленяя высказываний на элементы, мы запишем теперь в виде

>(z, 1) ∨ <(z, -1).

6.9. Кванторы

В математике большую роль играют утверждения о всеобщности данного свойства и о существовании хотя бы одного объекта, обладающего данным свойством. Для записи этих утверждений вводятся так называемые кванторы: квантор всеобщности ∀ и квантор существования ∃. Допустим, что некоторое высказывание S содержит переменную (неопределенный объект) х, поэтому будем записывать его в виде S(x). Тогда высказывание

(∀x)S(x)

означает, что для всех х имеет место S(x), а высказывание

(∃x)S(x)

состоит в утверждении, что существует хотя бы один объект х такой, что для него верно высказывание S(x).

Переменная, входящая в высказывание под знаком квантора, называется связанной переменной, ибо высказывание от этой переменной не зависит, подобно тому как сумма

_i=n∑ ^mS_i

не зависит от индекса i. Связанную переменную можно заменить любой другой буквой, не совпадаюшей с остальными переменными, и от этого смысл высказывания не изменится. Переменная, которая не является связанной, называется свободной. Высказывание зависит только от свободных переменных, которые оно содержит.

Примеры высказываний с кванторами:

(∀х)(∀у)(«брат»(х, у) ∧ «мужчина»(у)) ⊃ «брат»(у, x).