Feynmann 4

Эта формула была не только самой первой формулой, но и самой первой мыслью квантовой механики, и она явилась великолепным ответом на все недоумения предшествующих десятилетий. Максвелл уже понимал, что что-то неверно, но вопрос был в том, что же правильно? Здесь содержится коли­чественный ответ — что же надо взять вместо kT. Выражение для энергии, конечно, стремится к kT при w®0 или при Т®Ґ. Попробуйте это доказать — здесь надо поступить так, как этому учит математика.

Выражение для средней энергии содержит знаменитый обрезающий множитель, который предвидел Джине, и если использовать его вместо kT в (41.13), то мы получим распре­деление света в черном ящике:

Итак, мы видим, что при больших w кривая резко идет вниз; хотя в числителе стоит w³, знаменатель содержит е в чрезвы­чайно высокой степени; на кривой нет никакого намека на подъем, и там, где мы того не ждем, не появляется ни ультра­фиолетовых, ни рентгеновских лучей!

Может возникнуть недовольство в связи с тем, что при вы­воде (41.16) мы пользовались квантовой теорией для уровней энергии гармонического осциллятора, а при определении эф­фективного сечения s_s мы оставались верны классической тео­рии. Но квантовая теория взаимодействия света с гармониче­ским осциллятором приводит точно к тем же результатам, что и классическая. Это обстоятельство оправдывает то время, которое мы затратили на изучение показателя преломления и рассеяние света, основанное на представлении об атоме как о маленьком осцилляторе, — квантовые формулы получаются точно такими же.

Теперь вернемся к шумам Джонсона в сопротивлении. Мы уже отмечали, что теория мощности шума, по существу, — та же самая, классическая теория излучения черного тела. На самом деле, как мы уже говорили, сопротивление в цепи — это не настоящее сопротивление, а похоже скорее на антенну (антенна ведь тоже похожа на сопротивление, она излучает энергию). Это радиационное сопротивление, и легко под­считать излучаемую им мощность. Эта мощность равна той мощности, которую антенна получает от окружающего ее света, и мы должны прийти к тому же самому распределению с точ­ностью до одного, двух множителей. Мы можем предположить, что сопротивление — это генератор с неизвестным спектром мощности Р(w). Найти распределение поможет то обстоятель­ство, что этот генератор, включенный в резонансную цепь произвольной частоты (как на фиг. 41.2, б), порождает на ин­дуктивности падение напряжения, определяемое равенством

(41.2). Это приведет нас к тому же интегралу, что и (41.10), а продолжая работать тем же методом, мы получим уравнение

(41.3). Для низких температур kT в (41.3), конечно, надо за­менить выражением (41.15). Две теории (излучения черного тела и шумов Джонсона) физически тесно связаны, так как мы можем связать резонансную цепь с антенной, тогда сопро­тивление R будет радиационным сопротивлением в чистом виде. Поскольку (41.2) не зависит от физических свойств сопротив­ления, генератор G для настоящего сопротивления и для ра­диационного сопротивления будет одинаковым. А что же будет источником генерируемой мощности Р(w), если сопротивление R — теперь просто-напросто идеальная антенна, находящаяся в равновесии с ее окружением при температуре Т? Это излу­чение в пространстве при температуре Т, которое обрушивается на антенну в качестве «принятого сигнала» и служит эффективным генератором. Следовательно, двигаясь от (41.13) к (41.3), можно найти прямое соответствие между P'(w) и I(w).

Объяснение явлений, о которых мы сейчас говорим (так называемый шум Джонсона, распределение Планка и теория броуновского движения, о которой мы собираемся говорить),— это достижения первого десятилетия нашего века. Узнав об этом и заглянув в историю, вернемся к броуновскому дви­жению.

§ 4. Случайные блуждания

Попробуем понять, насколько меняется положение танцу­ющей частицы за время, во много раз большее, чем промежуток между двумя ударами. Посмотрим на маленькую частицу, которая вовлеклась в броуновское движение и пляшет под непрерывно и беспорядочно сыплющимися на нее ударами молекул воды. Вопрос: Далеко ли отойдет частица от первона­чального положения, когда истечет заданное время? Эту задачу решили Эйнштейн и Смолуховский. Представим себе, что мы разделили выделенное нам время на малые промежутки, ска­жем, по одной сотой доле секунды, так что после первой сотой доли секунды частица оказалась в одном месте, в течение второй сотой секунды она продвинулась еще, в конце следующей сотой секунды — еще и т. д. При той скорости бомбардировки, которой подвергается частица, одна сотая секунды — огромное время.