Feynmann 4

Предположим на минутку, что мы наблюдаем столкновения, системы центра масс которых покоятся. Кроме того, надо предположить, что все молекулы движутся горизонтально. Конечно, после первого же столкнове­ния часть молекул будет двигаться уже под каким-то углом к исходному направлению. Иначе говоря, если вначале все молекулы двигались горизонтально, то спустя некоторое вре­мя мы обнаружим уже вертикально движущиеся молекулы. После ряда других столкновений они снова изменят направле­ние и повернутся еще на какой-то угол. Таким образом, если кому-нибудь и удастся сначала навести порядок среди моле­кул, то все равно они очень скоро разбредутся по разным на­правлениям и с каждым разом будут все больше и больше распыляться. К чему же это в конце концов приведет? Ответ: Любая пара молекул будет двигаться в произвольно выбранном направлении столь же охотно, как и в любом другом. После этого дальнейшие столкновения уже не смогут изменить распределе­ния молекул.

Что имеется в виду, когда говорят о равновероятном дви­жении в любом направлении? Конечно, нельзя говорить о вероятности движения вдоль заданной прямой — прямая слишком тонка, чтобы к ней можно было относить вероятность, а следует взять единицу «чего-нибудь». Идея заключается в том, что через заданный участок сферы с центром в точке столк­новения проходит столько же молекул, сколько через любой другой участок сферы. В результате столкновений молекулы распределяются по направлениям так, что любым двум равным по площади участкам сферы будут соответствовать равные ве­роятности (т. е. одинаковое число прошедших через эти участки молекул).

Между прочим, если мы будем сравнивать первоначальное направление и направление, образующее с ним какой-то угол 0, то интересно, что элементарная площадь на сфере единичного радиуса равна произведению 2p на sinqdq, или, что то же самое, на дифференциал cosq. Это означает, что косинус угла 9 между двумя направлениями с равной вероятностью принимает лю­бое значение между -1 и +1.

Теперь нам надо вспомнить о том, что имеется на самом деле; ведь у нас нет столкновений в системе центра масс, а сталки­ваются два атома с произвольными векторными скоростями v₁ и v₂. Что происходит с ними? Мы поступим так: снова перей­дем к системе центра масс, только теперь она движется с «ус­редненной по массам» скоростью v_ц.м.=(m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂). Если следить за столкновением из системы центра масс, то оно будет выглядеть так, как это изображено на фиг. 39.3, только надо подумать об относительной скорости столкновения w. Относительная скорость равна v₁-v₂. Дело, следовательно, обстоит так: движется система центра масс, а в системе центра масс молекулы сближаются с относительной скоростью w; столк­нувшись, они движутся по новым направлениям. Пока все это происходит, центр масс все время движется с одной и той же скоростью без изменений.

Ну и что же получится в конце концов? Из предыдущих рассуждений делаем следующий вывод: при равновесии все направления, w равновероятны относительно направления дви­жения центра масс. Это означает, что в конце концов не будет никакой корреляции между направлением относительной ско­рости и движением центра масс. Если бы даже такая корреля­ция существовала вначале, то столкновения ее бы разрушили и она в конце концов исчезла бы полностью. Поэтому сред­нее значение косинуса угла между w и v_ц.м. равно нулю. Это значит, что

<w·v_ц.м.>=0. (39.19)

Скалярное произведение w·v_ц.м. легко выразить через v₁ и v₂:

Займемся сначала v₁·v₂; чему равно среднее v₁·v₂? Иначе го­воря, чему равно среднее проекции скорости одной молекулы на направление скорости другой молекулы? Ясно, что вероят­ности движения молекулы как в одну сторону, так и в проти­воположную одинаковы. Среднее значение скорости v₂ в любом направлении равно нулю. Поэтому и в направлении v₁ среднее значение v₂ тоже равно нулю. Итак, среднее значение v₁·v₂ равно нулю! Следовательно, мы пришли к выводу, что среднее т₁v²₁ должно быть равно т₂v²₂. Это значит, что средние кинети­ческие энергии обеих молекул должны быть равны:

¹/₂m₁v²₁=¹/₂m₂v²₂. (39.21)

Если газ состоит из атомов двух сортов, то можно показать (и мы даже считаем, что нам удалось это сделать), что средние кинетические энергии атомов каждого сорта равны, когда газ находится в состоянии равновесия. Это означает, что тяжелые атомы движутся медленнее, чем легкие; это легко проверить, поставив эксперимент с «атомами» различных масс в воздушном желобе.