Feynmann 4a

Далее, положение соседнего элемента объема есть х+Dх, и его смещенное положение есть х+Dх+c(х+Dх,t). Теперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рас­сматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси х, т. е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале Dx, есть r₀Dx, где r₀ — невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, сме­щенная звуковой волной, будет находиться теперь между x+c (x,t) и x+Dх+c (х+Dх,t), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что в интервале Dx до прихода волны. Если через r обозначить новую плотность, то

r₀Dx=r [x+Dx+c (x+Dx,t)-x-c (x,t)]. (47.5)

Поскольку Dx мало, можно написать c (x+Dx,t)-c (x,t)=(дc/дx)Dx. Здесь уже появляется частная производная, потому что c зависит и от x, и от времени. Наше уравнение принимает вид

r₀Dx =r ((дc/дx) Dx +Dx), (47.6)

или

r₀=(r₀+r_u)дc/дx+r₀+r_u. (47.7)

Но в звуковой волне все изменения малы, так что r_u мало, c мало и дc/дх тоже мало. Поэтому в уравнении, которое мы только что написали,

r_u=-r₀(дc/дx)- r_u(дc/дx), (47.8)

можно пренебречь r_u(дc/дх) по сравнению с r₀(дc/дх). Так мы приходим к соотношению, которое требовалось согласно свойству I:

(I) r_u=-r₀дc/дx. (47.9)

Именно такой вид уравнения можно было ожидать из чисто физических соображений. Если смещение различно для разных х, плотность будет изменяться. Знак тоже правильный: если сме­щение c растет с ростом х, так что воздух расширяется, плотность должна уменьшаться.

Теперь нам нужно найти третье уравнение — уравнение движения, производимого избытком давления. Зная соотноше­ние между силой и давлением, можно получить уравнение дви­жения. Возьмем объем воздуха толщиной Dx и с единичной пло­щадью грани, перпендикулярной х, тогда масса воздуха в этом объеме есть r₀Dx, а ускорение воздуха есть д²c/дt², так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть r₀Dx(д²c/дt²). (Если Dx; мало, то безразлично, где брать ускорение — на краю слоя или где-нибудь посредине.) Сила, действующая на единич­ную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси x, должна быть равна r₀Dx(д²хc/дt²). В точке х мы имеем силу Р(х,t), дей­ствующую на единицу площади в направлении +х, а в точке x+Dx; возникает сила в обратном направлении, по величине равная Р(x;+ Dx, t) (фиг. 47.4):

Фиг. 47.4. Результирующая сила в направлении оси х, возникающая за счет давления на единичную площадку, перпендикулярную к оси х, есть — (дР/дх)Dх.

Р(х, t)-P(x+Dx, t)=-(дP/дx) Dx=(дP_u/дx) Dx. (47.10)

Мы учли, что Dx; мало и что только избыточное давление Р_и меняется в зависимости от х. Итак, согласно свойству III мы получаем

(III) r₀=д²c/дt²=-дP_u/дx. (47.11)

Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все вели­чины и привести к одной переменной, скажем х. Можно выразить Р_u в (47.11) с помощью (47.4):

r₀д²c/дt²-cдr_u/дx (47.12)

а затем исключить r_u с помощью (I). Тогда r₀ сократится и у нас останется

д2c/дt²=xд²c/дx². (47.13)

Обозначим с²_s =x, тогда можно написать

Это и есть волновое уравнение, которое описывает распростра­нение звука в среде.

§ 4. Решения волнового уравнения

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмуще­ние, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно прохо­дить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном урав­нении.

Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записы­вается в виде f(x-vt). Посмотрим теперь, является ли f(x-vt) решением волнового уравнения. Вычисляя дc/дх, получаем производную функции dcldx=f'(x-vt). Дифференцируя еще раз, находим

Дифференцируя эту же функцию c по t, получаем значение — V, умноженное на производную, или дc/dt=-vf (x-vt); вторая производная по времени дает

Очевидно, что f(х-vt) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно c_s.

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью c_s и, кроме того,

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.