Feynmann 5b

v=-Сj. (12.30)

Каков физический смысл y? Особо полезного смысла нет. Скорость можно записать в виде градиента потенциала просто потому, что течение безвихревое. По аналогии с электростати­кой y называется потенциалом скоростей, но он не связан с потенциальной энергией так, как это получается для j. Поскольку дивергенция v равна нулю, то

(12.31)

Потенциал скоростей y подчиняется тому же дифференциаль­ному уравнению, что и электростатический потенциал в пустом пространстве (r=0).

Давайте выберем какую-нибудь задачу о безвихревом те­чении и посмотрим, сможем ли мы решить ее изученными ме­тодами. Рассмотрим задачу о шаре, падающем в жидкости. Если он движется слишком медленно, то силы вязкости, кото­рыми мы пренебрегали, будут существенны. Если он движется слишком быстро, то следом за ним будут идти маленькие вихри (турбулентность) и возникнет некоторая циркуляция воды. Но если шар движется и не чересчур быстро, и не чересчур медленно, то течение воды будет более или менее отвечать нашим предположениям, и мы сможем описать движение воды нашими простыми уравнениями.

Удобно описывать процесс в системе координат, скреплен­ной с шаром. В этой системе координат мы задаем вопрос: как течет вода около неподвижного шара, если на больших расстояниях течение однородно? Иначе говоря, если вдали от шара течение всюду одина­ково? Течение вблизи шара будет иметь вид, показан­ный линиями потока на фиг. 12.8. Эти линии, всег­да параллельные v, соответ­ствуют линиям напряженностей электрического поля.

Фиг. 12.8. Поле скоростей без­вихревого обтекания сферы жидко­стью.

Мы хотим получить количественное описание поля скоростей, т. е. выражение для скорости в любой точке Р.

Можно найти скорость как градиент от y), поэтому сначала определим потенциал. Мы хотим найти потенциал, который удовлетворял бы всюду (12.31) при следующих двух условиях: 1) течение отсутствует в сферической области за поверхностью шара; 2) течение постоянно на больших рас­стояниях. Чтобы выполнялось первое ограничение, компонен­та v, перпендикулярная поверхности шара, должна обращаться в нуль. Это значит, что dy/dr=0 при r=а. Для выполнения второго ограничения нужно иметь dy/dz=v₀ всюду, где r>>а. Строго говоря, нет ни одной электростатической задачи, кото­рая в точности соответствовала бы нашей задаче. Она факти­чески соответствует сфере с нулевой диэлектрической прони­цаемостью, помещенной в однородное электрическое поле. Если бы мы имели решение задачи для сферы с диэлектриче­ской проницаемостью x, то, положив x=0, немедленно решили бы нашу задачу.

Мы раньше не разобрали такую электростатическую за­дачу во всех подробностях; давайте сделаем это сейчас. (Мы могли бы сразу решить задачу о жидкости с v и y, но будем пользоваться Е и j, потому что привыкли к ним.)

Задача ставится так: найти такое решение уравнения С²j=0, чтобы Е=-Сj равнялось постоянной, скажем Е₀, для больших r и, кроме того, чтобы радиальная компонента Е была равна нулю при r=а. Иначе говоря,

(12.32)

Наша задача включает новый тип граничных условий — когда дj/дr постоянно, а не тот, когда потенциал j постоянен на поверхности. Это немножко другое условие. Получить ответ сразу нелегко. Прежде всего без шара j был бы равен —E₀z. Тогда Е было бы направлено по z и имело бы всюду постоянную величину Е₀. Мы уже исследовали случай диэлектрического шара, поляризация внутри которого однородна, и нашли, что поле внутри поляризованного шара однородно, а вне его оно совпадает с полем точечного диполя, расположенного в центре шара. Давайте напишем, что искомое решение есть суперпо­зиция однородного поля плюс поле диполя. Потенциал диполя (см. гл. 6) есть pz/4pe₀r³. Итак, мы предполагаем, что

(12.33)

Поскольку поле диполя спадает, как 1/r³, то на больших рас­стояниях мы как раз имеем поле Е₀. Наше предположение автоматически удовлетворяет сформулированному выше второму условию (стр. 249). Но что нам взять в качестве силы диполя p? Для ответа мы должны использовать другое условие [урав­нение (12.32)]. Мы должны продифференцировать j по r, но, разумеется, это нужно сделать при постоянном угле q, поэтому удобнее выразить сначала j через r и q, а не через z и r. По­скольку z=rcosq, то

(12.34)

Радиальная составляющая Е есть

(12.35)

Она должна быть равна нулю при r=а для всех q. Это будет выполнено, если

(12.36)