Feynmann 7

Для сокращения записи обозначим

тогда

DU = ±m₀В. (35.13)

Совершенно ясен и смысл m₀; — m₀ равно z-компоненте маг­нитного момента для спина, направленного вверх, а + m₀ равно z-компоненте магнитного момента в случае спина, на­правленного вниз.

Статистическая механика говорит нам, что вероятность нахождения атома в каком-то состоянии пропорциональна

g^{-(энергия состояния)/kT}_.

В отсутствие магнитного поля энергия обоих состояний одна и та же, поэтому в случае равновесия в магнитном поле ве­роятности пропорциональны

е^-DU/kT, (35.14)

Число же атомов в единице объема со спином, направленным вверх, равно

а со спином, направленным вниз,

Постоянная а должна определяться из условия

N_вверх+N_вниз=N (35.17)

т.е. равна полному числу атомов в единице объема. Таким образом, мы получаем

Однако нас интересует средний магнитный момент в на­правлении оси z. Каждый атом со спином, направленным вверх, дает в этот момент вклад, равный -m₀, а со спином, направленным вниз, + m₀, так что средний момент будет

Тогда М — магнитный момент единицы объема — будет равен N_ср. Воспользовавшись выражениями (35.15)—(35.17), по­лучим

Это и есть квантовомеханическая формула для М в случае атомов со спином j=¹/₂. К счастью, ее можно записать более коротко через гиперболический тангенс:

График зависимости М он В приведен на фиг. 35.7.

Фиг. 35.7. Изменение намаг­ниченности парамагнетика при изменении напряженности магнитного поля В.

Когда поле В становится очень большим, гиперболический тангенс приближается к единице, а М — к своему предельному зна­чению Nm₀. Таким образом, при сильных полях происходит насыщение. Нетрудно понять, почему так получается — ведь при достаточно больших полях все магнитные моменты выстраи­ваются в одном и том же направлении. Другими словами, при насыщении все атомы находятся в состоянии со спинами, направленными вниз, и каждый из них дает вклад в магнитный момент, равный m₀.

Обычно при комнатной температуре и полях, которые можно получить (порядка 10000 гс), отношение m₀B/kT равно при­близительно 0,02. Чтобы наблюдать насыщение, необходимо спуститься до очень низких температур. Для комнатной и более высоких температур обычно можно thx заменить на x и написать

Точно так же, как и в классической теории, намагничен­ность М оказывается пропорциональной полю В. Даже формула оказывается той же самой, за исключением того, что в ней, по-видимому, где-то потерян множитель ¹/₃. Но нам еще нужно связать m₀ в квантовомеханической формуле с величиной m, которая появилась в классическом результате, в выражении (35.9).

В классической формуле у нас появилось m²=m·m — квадрат вектора магнитного момента, или

В предыдущей главе я уже говорил, что очень часто правильный ответ можно получить из классических вычислений с заменой J·J на j(j+1)h². В нашем частном примере j=¹/₂, так что

j(j+1)h²=³/₄h².

Подставляя этот результат вместо J·J в (35.23), получаем

или, вводя величину m₀, определенную соотношением (35.12), получаем

m·m=3m²₀.

Подставляя это вместо m² в классическое выражение (35.9), мы действительно воспроизведем истинный квантовомеханический результат — формулу (35.22).

Квантовая теория парамагнетизма легко распространяется на атомы с любым спином j. При этом для намагниченности в слабом поле получим

где

представляет комбинацию постоянных с размерностью магнит­ного момента. Моменты большинства атомов приблизительно равны этой величине. Она называется магнетоном Бора. Спи­новый магнитный момент электрона почти в точности равен

§ 5. Охлаждение адиабатическим размагничиванием

Парамагнетизм имеет одно весьма интересное применение. При очень низкой температуре и в сильном магнитном поле атомные магнитики выстраиваются. При этом с помощью про­цесса, называемого адиабатическим размагничиванием, можно получить самые низкие температуры. Возьмем какую-то пара­магнитную соль, содержащую некоторое число редкоземель­ных атомов (например, аммиачный нитрат празеодима), и начнем охлаждать ее жидким гелием до 1—2° К в сильном магнитном поле. Тогда показатель mВ/kT будет больше единицы, скажем 2 или 3. Большинство спинов направлено вверх, и намагни­ченность почти достигает насыщения. Для облегчения давайте считать, что поле настолько велико, а температура так низка, что все атомы смотрят в одном направлении. Теплоизолируйте затем соль (удалив, например, жидкий гелий и создав вакуум) и выключите магнитное поле. При этом температура соли падает.