Feynmann 7

Последний вопрос в теории упругости, который я разберу,— это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя из некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионного кубического кристалла типа хлористого натрия. Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличе­нию потенциальной энергии кристалла. Для вычисления изме­нения энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы в решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма сложным образом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии деформации. Но понять, что получается в случае про­стого кубического кристалла, все-таки можно. Возмущения внутри кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внешних граней.

Упругие постоянные кубического кристалла можно вычис­лить следующим образом. Прежде всего мы предположим нали­чие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней энергии кристалла при отклонении от равновесной формы. Это даст нам соотношения между энергией и деформацией, которая квадра­тична по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39.13), можно идентифицировать коэф­фициенты при каждом слагаемом с упругими постоянными C_ijkl.

В нашем примере мы будем предполагать следующий простой закон взаимодействия: между соседними атомами действуют центральные силы, имея в виду, что они действуют по линии, соединяющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ион­ных кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие. (При ковалентной связи силы обычно более сложны, ибо они приводят и к бо­ковому давлению на соседние атомы; но нам все эти усложнения ни к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу взаимодействия каждого атома с ближайшим к не­му и следующими побли­зости соседями. Другими словами, мы будем делать приближение, в котором пренебрежем силами меж­ду далекими атомами. На фиг. 39.10,а показаны си­лы в плоскости ху, которые мы будем учитывать. Сле­дует еще учесть соответ­ствующие силы в плоскос­тях yz и zx.

Поскольку нас инте­ресуют только упругие постоянные, которые опи­сывают малые деформации, и, следовательно, в выражении для энергии нам нужны только слагаемые, квадратич­ные по деформациям, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно.

Фиг. 39.10. Принимаемые нами в расчет межатомные силы (а) и модель, в которой атомы связаны пружинками (б).

Поэтому для наглядности можно представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10, б). Все пружинки между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем k₁. Пружинки между двумя атомами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через k₂. (Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы сможете вернуться назад и сделать их разными.)

Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором e_ij. В общем случае у него будут компоненты, содержащие х, у и z, но мы для большей наглядности рассмотрим только деформации с тремя компо­нентами: е_хх, е_xy и е_yy . Если один из атомов выбрать в качестве начала координат, то перемещение любого другого атома задается уравнением типа (39.9):

Назовем атом с координатами х=у=0 «атомом 1», а номера его соседей показаны на фиг. 39.11.

Фиг, 39.11. Перемещение ближайших и следующих побли­зости соседей атома 1. (Масштаб сильно искажен.)

Обозначая постоянную решетки через а, мы получаем х- и y-компоненты перемещения u_x, u_y , выписанные в табл. 39.1.

Таблица 39.1 · КОМПОНЕНТЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ u_x, u_у

Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению k²/2 на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между атомами 1 и 2 будет равна

Заметьте, что с точностью до первого порядка y-перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2. Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изме­нение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонталь­ного перемещений. Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент u_х и u_v в диагональном направлении:

Воспользовавшись величинами u_х и u_y. можно получить выра­жение для энергии

Для полной энергии всех пружинок в плоскости ху нам нужна сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энергию через U₀, получаем