Философия

Риман, в частности, развивал идею, согласно которой совсем не обязательно в качестве объекта геометрии рассматривать реальные плоскости, линии, фигуры, т. е. то, что дано в чувственном восприятии (как говорили в свое время философы – первичные качества, ибо к ним относили протяженность и фигуру). Элементами множества, на котором осуществляется та или иная геометрия, могут быть просто некоторые совокупности чисел.

Оказалось, что можно строить разные неэвклидовы геометрии и при этом исходить из разных принципов. Так, Риман исходил из элемента длины, а Бельтрами – из кривизны пространства (он полагал, что поверхность типа грамофонной трубы служит наглядным образом для интерпретации геометрии Лобачевского, ибо там, на поверхности такого типа, выполняются соотношения этой геометрии). Как отмечают историки науки, другие математики находили новые системы аксиом и новые структуры, лежащие в основе построения геометрии. Таким образом, в математике появилось новое представление о геометрии, не связанное, как это было раньше, с непосредственным чувственным восприятием макромира. Математика перешла на новый, более высокий уровень абстракции.

Параллельно с исследованиями, изменившими представления о геометрии в середине XIX в., начались работы по пересмотру основ арифметики и применению в логике математических методов. Первым здесь должен быть отмечен английский математик и логик Джордж Буль (1815—1864). Он предложил рассматривать логику как алгебру, в которой переменные могут принимать только два значения: нуль и единица, соответствующие двум значениям истинности: ложное и истинное. Буль полагал, что есть некоторые общие принципы мышления, что дает основания для аналогии между логикой и алгеброй. Если в алгебре для нахождения значения неизвестного члена используются уравнения, то аналогично следует поступать и в логике, т. е. надо строить логические уравнения для определения неизвестных логических терминов. Так возникла новая область науки – алгебра логики и началась реализация программы создания всеобщего исчисления истинности, предложенной Лейбницем.

Важным этапом на этом пути стали работы немецкого математика Готлоба Фреге (1848—1925). В работе «Исчисление понятий» (1879) он осуществил дедуктивно-аксиоматическое построение логики высказываний и логики предикатов средствами разработанного им формализованного языка. Его идея состояла в том, что основные фундаментальные законы арифметики и математического анализа могут быть сведены к законам логики. На этой основе возникло целое направление, получившее название логицизм. Логицизм получил свое развитие в работах английского математика и философа Бертрана Рассела (1872—1970), который в соавторстве со своим соотечественником Альфредом Уайтхедом (1861—1947) выпустил работу «Принципы математики». В ней они развили основные положения теории логицизма. Однако австрийский логик и математик Курт Гёдель (1906—1978) доказал, что невозможно полностью формализовать мышление, что Лейбницева программа полной формализации мышления невыполнима. Гёдель также показал, что невозможно доказать непротиворечивость формальной системы средствами самой этой системы. Таким образом, Гёдель показал несостоятельность центральной идеи логицизма. Были отвергнуты чрезмерные претензии логицизма на создание абсолютно истинных формально-логических систем.

Штормы, бушевавшие в океанах логики и математики, не были заметны большинству людей. Войны и революции, промышленные подъемы и жестокие кризисы, громкие споры о величии и ничтожестве человека, нации и народов заглушали раскаты грома, раздающиеся из области абстрактных наук. И лишь иногда сведения о парадоксах теории множеств или теории относительности вспыхивали зарницами на далеких горизонтах общественного сознания. Однако на пути, пройденном логикой и математикой за указанный период, были получены результаты, имеющие фундаментальное значение как для этих наук, так и для философии – результаты, без которых оказались бы невозможными успехи в создании современных вычислительных машин, открывающих новый этап в развитии всей человеческой цивилизации.