Философия Науки. Хрестоматия

Элементарные действия над объектами теории считаются также данными и всегда осуществимыми. Мы абстрагируемся от реальных возможностей осуществления операций. Поэтому в генетической теории рассуждают не только о тех объектах, которые действительно построены, точнее, представители которых построены, но и о тех, которые могут быть построены из уже построенных посредством допустимых действий. Если даны исходные объекты и метод построения какого-то объекта, то о последнем рассуждают как о чем-то уже данном. Объекты теории задаются через указание исходных объектов и процедур получения из данных объектов новых. С. 423.

К. Поппер прав: диалектическая логика невозможна

К. Поппер дает очень аргументированную критику гегелевских идей диалектической логики. Одним из принципов диалектики, понимаемой как логика, является отказ от закона непротиворечия. Согласно этому подходу могут быть истинными противоречивые утверждения типа А и не-А. К. Поппер показывает, что при очень простых предпосылках - принятии, что из «p» следует «p или q» и из «р или q» и «не-p» следует «q», -мы из противоречия можем вывести произвольное утверждение. Таким образом, в обычной логике принятие противоречивого утверждения разрушает всю систему.

К. Поппер пишет, что в принципе возможна логическая система, в которой из противоречия не следовало бы все что угодно. К. Поппер пишет: «Я специально занимался этим вопросом и пришел к выводу, что такая система возможна». К. Поппер построил систему, дуальную интуиционистской (см. статью К. Поппера «О теории дедукции», опубликованную в 1948 г. в трудах голландской академии наук). К. Поппер отмечает, что эта система очень слабая, в ней не имеет места даже обычный modus ponens. К. Поппер приходит к следующему выводу: «По моему мнению, подобная система совершенно непригодна для вывода заключений, хотя и представляет, возможно, некоторый интерес для тех, кто специализируется на построении формальных систем».

Однако развитие логики показало важность подобного рода систем. Более того, как мы покажем ниже, системы, дуальные интуиционистской, реализуют центральную идею попперовской философии науки -идею фальсификационизма. С. 291.

<...> Классическая логика опирается на аристотелевское понятие истинности утверждения как его соответствия действительности. При этом абстрагируются от того, что истина есть результат познавательного процесса. Интуиционистская логика исходит из более тонкого понимания истинности. Знание релятивизировано относительно времени. В каждый момент времени в поле нашего внимания может оказаться только конечное множество объектов и может быть принято только конечное число атомарных предложений об этих объектах. Принимаются очень сильные идеализации: объекты, оказавшиеся в поле внимания, не исчезают со временем, предметная область может только расширяться, но не сужаться; уже полученное знание не исчезает, не забывается; то, что признано истинным сегодня, будет признано и завтра. Смысл логических связок, введенных на основе этих Допущений, будет отличным от смысла классических связок. <...> Меняется и смысл кванторов.

Утверждение будет логически истинным, если оно истинно в любой момент времени при любом ходе познавательной деятельности.

Это очень прозрачная с точки зрения классической логики и математики семантика. Легко видеть, что при таком подходе не будет логически истинным закон исключенного третьего «A или не-A», закон двойного отрицания «если не-не-A, то A». Логику, дуальную интуиционистской, построить нетрудно. Со времен Г. Генцена известна секвенциальная логистическая формулировка классической логики. В ней оперируют с записями о выводимостях. А1,..., А > B1,..., B означает, что если истинна каждая из формул, стоящих слева от стрелки, то истинна, по крайней мере, одна из формул справа от стрелки. Правила логики есть правила введения сложных формул слева и справа от стрелки. Интуиционистская логика отличается от классической только тем, что справа от стрелки не может быть более одной формулы. Если мы примем ограничение, что слева от стрелки не может стоять более одной формулы, то получим логику, двойственную интуиционистской. Эго система, о которой говорит К. Поппер в своей статье. Но каков содержательный смысл этой системы?

Я полагаю, что логика, дуальная интуиционистской, имеет естественную семантику. И эта семантика основана на идее фальсификационизма. Я не знаю, связывал ли сам К. Поппер с идеей фальсификации эту логику. Если ограничиться логикой высказываний, то мы должны допустить, что со временем признание ложности чего-то сохраняется. Если утверждение «A» ложно сегодня, то оно будет ложно и завтра и во все последующие времена. «A и B» ложно в момент t, если во все последующие времена (включая t) будет ложно «A» или ложно «B»; не-A ложно в момент t, если «A» не ложно в t и последующие времена. «A» есть закон логики, если «A» не ложно в любой момент времени при любом ходе исследований.