Философские исследования

Пусть таким рядом прежде всего будет ряд натуральных чисел в десятичной системе. Как он учится понимать эту систему? Сначала ему предъявляют запись числового ряда, а затем велят скопировать ее. (Пусть не покажется тебе странным выражение "числовой ряд"; в таком его применении нет ошибки!) И уже здесь мы сталкиваемся с типичной и нетипичной реакцией обучаемого. Сначала при копировании ряда от 0 до 9 мы, может быть, водим его рукой. А далее возможность взаимопонимания сопряжена с тем, как он будет продолжать запись самостоятельно. Причем можно себе представить, например, что он, самостоятельно копируя цифры, располагает их не по порядку, не соблюдая правила: иногда записывает одну цифру, иногда же на ее место ставит другую. И тогда взаимопонимание в данном пункте нарушается. Или же он делает ошибки в последовательности записи цифр. Понятно, что этот случай отличает от предыдущего частотность [неверных записей]. Обучаемый может допускать систематическую ошибку, всегда записывая, например, лишь каждое второе число, или копировать ряд 0, 1, 2, 3, 4, 5,... так: 1, 0, 3, 2, 5, 4,... В этом случае мы почти наверняка склонны будем сказать, что он неверно нас понял.

Но заметь: не существует резкой границы между нерегулярной и систематической ошибками, то есть между тем, что ты склонен называть "беспорядочной", а что "систематической ошибкой".

Ученика, пожалуй, можно отучить от систематической ошибки (как от дурной привычки). Или же можно что-то одобрить в его способе записи и попытаться научить его нормальному, как определенной разновидности, варианту его собственного. И в этом случае обучаемость нашего ученика может иметь предел.

144. Что я имею в виду, говоря "здесь может наступить предел обучаемости ученика"? Говорю ли я это на основании моего собственного опыта? Конечно, нет. (Даже если у меня и был такой опыт.) Тогда чего же я добиваюсь этим предложением? Ну допустим, что ты сказал: "Да, верно, это можно себе представить, это может случиться!" Но стремился ли я привлечь его внимание к тому, что он в состоянии себе это представить? Я хотел вызвать в его воображении определенную картину, признание же им этой картины заключается в его готовности рассматривать данный случай иначе: а именно в его сопоставлении c этим рядом картин. Я изменил его способ созерцания. (Индийский математик: "Посмотри на это!")

145. Теперь ученик записывает ряд цифр от 0 до 9 так, как положено. А это бывает лишь в том случае, если правильная запись у него получается часто, а не один раз из ста проб. Ну, а я продолжаю развертывать ряд и обращаю его внимание на воспроизведение первого ряда в единицах, затем на его повторение в десятках. (Что означает лишь, что я использую определенные акценты, подчеркиваю цифры, таким-то образом записываю их друг над другом и т.п.) И вот с какого-то момента он самостоятельно продолжает этот ряд или же этого не происходит. Но зачем ты все это говоришь; ведь это самоочевидно! Ну разумеется. Я хотел сказать всего лишь: эффект каждого последующего объяснения зависит от реакции ученика.

Допустим же, что после некоторых усилий учителя учащийся продолжает ряд чисел правильно, то есть так, как это делаем мы. Стало быть, теперь мы могли бы сказать, что он овладел системой. Но как далеко ему следует продолжать этот ряд, чтобы мы могли это утверждать с полным правом? Очевидно, здесь нельзя указать никаких пределов.

146. Ну, а если я спрошу: "Понял ли он систему, если ему удается продолжить ряд до сотого члена?" Или (если в нашей элементарной языковой игре не обязательно говорить о "понимании") спрошу иначе: "Усвоил ли он эту систему, если он верно доводит запись до этого места?" На это ты, вероятно, ответишь: усвоение (или же понимание) системы не может состоять в том, чтобы продолжить ряд до того или иного числа; это лишь применение понимания. Само же это понимание некое состояние, из которого вытекает правильное применение.

А о чем же здесь, собственно, думают? Разве не о выведении некоторого ряда из его алгебраической формулы? Или же о чем-то подобном? Но тут мы возвращаемся к уже сказанному. Ведь мы в состоянии думать более чем об одном применении алгебраической формулы; и каждый тип применения может быть в свою очередь выражен алгебраически. Однако, само собой разумеется, это нас не продвигает далее. Применение все еще остается критерием понимания.

147. "Но как же это возможно? Когда я говорю, что понимаю закон образования ряда, то ведь я утверждаю это не на основании накопленного мною к настоящему моменту опыта именно такого применения определенного алгебраического выражения! Во всяком случае, о самом-то себе я знаю, что имею в виду такой-то ряд, безотносительно к тому, как далеко продвинулся я в его фактическом построении".