Физика для любознательных. Том 3. Электричество и магнетизм. Атомы и ядра

Задача 1. Простейшие формулы для циклотрона

[Циклотрон — это устройство для получения ионов (заряженных атомов) высокой энергии путем повторяющихся ускорений, в каждом из которых ион проходит определенную разность потенциалов. Для того чтобы сообщать ионам ускоряющие импульсы многократно, прикладывается магнитное поле, чтобы ионы двигались по круговым орбитам. Вам требуется выяснить, как должны быть распределены во времени ускоряющие импульсы. Это кардинальная проблема устройства.]

Предположим, что ион с массой m кг и зарядом Q движется со скоростью v м/сек поперек однородного магнитного поля напряженностью Н а∙ виток/м. В магнитном поле на движущийся заряд действует сила, (Магнитное поле должно быть перпендикулярно направлению движения. Составляющая магнитного поля любой величины вдоль скорости заряда не вносит никакого вклада в эту силу.) При этом сила дается выражением F = -10^-7QvH. (Когда магнитное поле — поле в центре кругового витка провода, оно равно H = 2π∙N∙I₂/R и его следует измерять в а∙виток/м. В нашей задаче магнитное поле создается железным сердечником с двумя катушками, так что именно оно обозначено через Н.)

(Замечание. В некоторых книгах вместо множителя 10^-7 иногда стоит 1/с, а также иногда фигурирует 4π. Это различие связано с использованием других единиц измерения е вместо кулонов.)

Сила перпендикулярна как полю, так и направлению скорости иона, поэтому она, не меняя величины скорости иона, изгибает траекторию его движения в окружность,

а) Напишите уравнение, согласно которому приведенная выше сила (выраженная через Н) является центростремительной силой, заставляя ион двигаться по окружности радиусом r.

б) Решите уравнение, найденное в а) относительно скорости v, получив v =…

в) Какое время необходимо для обращения некоторого объекта по окружности радиусом r со скоростью v?

г) Объедините результаты пунктов б) и в) и выразите время обращения по окружности через Q, Н и т, д., исключив r из выражений.

д) Пусть электрический импульс ускоряет ион после каждой полуокружности его траектории. Как будет изменяться время между двумя последовательными импульсами, подаваемыми соответственно после прохождения ионом двух следующих друг за другом полуокружностей, — увеличиваться, уменьшаться или оставаться все время постоянным? Четко обоснуйте ваш ответ.

Задача 2. Циклотрон и относительность

В больших циклотронах ионы набирают громадную энергию за большое число оборотов по окружности, а так как энергия связана с массой, то масса иона слегка возрастает» Если ионы вращаются достаточно долгое время, то нужно ли на более поздней стадии ускорения уменьшить или увеличить длительность электрических импульсов?