Физика для всех. Книга 1. Физические тела

Для того чтобы, довести скорость ракеты до 3 u, надо сжечь массу вещества m = ¹⁹/₂₀ М. Это значит, что лишь 1/20 массы ракеты можно сохранить, если мы желаем довести скорость до 3 u, т. е. до 6–8 км/с.

Чтобы добиться скорости в 7 u, масса ракеты за время разгона должна уменьшиться в 1000 раз.

Эти расчеты предостерегают нас от погони за увеличением массы горючего, которое можно захватить в ракету. Чем больше мы возьмем горючего, тем больше придется его сжечь. При данной скорости истечения газов очень трудно добиться увеличения скорости ракеты.

Основное в задаче достижения больших скоростей у ракет — увеличение скорости истечения газов. В этом отношении существенную роль должно сыграть применение в ракетах двигателей, работающих на новом, ядерном горючем.

При неизменной скорости истечения газов выигрыш в скорости при той же массе горючего получается при использовании многоступенчатых ракет. В одноступенчатой ракете уменьшается масса топлива, а пустые баки продолжают движение с ракетой. На ускорение массы ненужных топливных баков требуется дополнительная энергия. Целесообразно с израсходованием топлива отбросить и топливные баки. В современных многоступенчатых ракетах отбрасываются не только баки и трубопроводы, но и двигатели отработавших ступеней.

Разумеется, лучше всего было бы отбрасывать ненужную массу ракеты непрерывно. Пока такой конструкции не существует. Стартовый вес трехступенчатой ракеты с таким же «потолком», как у одноступенчатой ракеты, может быть сделан в 6 раз меньшим. «Непрерывная» ракета выгоднее трехступенчатой в этом смысле еще на 15 %.

ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Будем скатывать небольшую тележку с двух очень гладких наклонных плоскостей. Одну доску возьмем значительно короче другой и положим их на одну и ту же опору. Тогда одна наклонная плоскость будет крутой, а другая — пологой. Верхушки обеих досок — места старта тележки — будут на одинаковой высоте. Как вы полагаете, какая из тележек приобретет большую скорость, скатившись с наклонной доски? Многие решат, что та, которая съехала по более крутой плоскости.

Опыт покажет, что они ошиблись, — тележки приобретут одинаковую скорость. Пока тело движется по наклонной плоскости, оно находится под действием постоянной силы, а именно (рис. 3.4) под действием составляющей силы тяжести, направленной вдоль движения. Скорость u, которую приобретает тело, движущееся с ускорением а на пути S, равна, как мы знаем, v = √(2a∙S).

Откуда же видно, что эта величина не зависит от угла наклона плоскости? На рис. 3.4 мы видим два треугольника. Один из них изображает наклонную плоскость. Малый катет этого треугольника, обозначенный буквой h, — высота, с которой начинается движение; гипотенуза S есть путь, проходимый телом в ускоренном движении. Маленький треугольник сил с катетом ma и гипотенузой mg подобен большому, так как они прямоугольные и углы их равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Значит, отношение катетов должно равняться отношению гипотенуз, т. е.

h/mа = S/mg, или aS = gh.

Мы доказали, что произведение aS, а значит, и конечная скорость тела, скатившегося с наклонной плоскости, не зависит от угла наклона, а зависит лишь от высоты, с которой началось движение вниз. Скорость v = √(2gh) для всех наклонных плоскостей при единственном условии, что движение началось с одной и той же высоты h. Эта скорость оказалась равной скорости свободного падения с высоты h.

Измерим скорость тела в двух местах наклонной плоскости — на высотах h₁ и h₂. Скорость тела в момент прохождения через первую точку обозначим v₁, а скорость в момент прохождения через вторую точку — v₂.

Если начальная высота, с которой началось движение, есть h, то квадрат скорости тела в первой точке будет v₁² = 2g∙(h — h₁), а во второй точке v₂² = 2g∙(h — h₂).

Вычитая первое из второго, мы найдем, как связаны скорости тела в начале и в конце какого угодно кусочка наклонной плоскости с высотами этих точек:

v₂² — v₁² = 2g∙(h₁ — h₂),

Разность квадратов скоростей зависит лишь от разности высот. Заметим, что полученное уравнение одинаково пригодно для движений вверх и для движений вниз. Если первая высота меньше второй (подъем), то вторая скорость меньше первой.

Эту формулу можно переписать следующим образом:

(v₁²/2) + gh₁ = (v₂²/2) + gh₂

Мы хотим подчеркнуть такой записью, что сумма половины квадрата скорости и высоты, умноженной на g, одинакова для любой точки наклонной плоскости.

Можно сказать, что величина (v²/2) + gh сохраняется во время движения.

Самое замечательное в найденном нами законе то, что он справедлив для движения без трения по любой горке и вообще по любому пути, состоящему из чередующихся подъемов и спусков различной крутизны. Это следует из того, что любой путь можно разбить на прямолинейные участки. Чем меньше брать отрезки, тем ближе будет приближаться ломаная линия к кривой. Каждый прямой отрезок, на которые разбит криволинейный путь, можно считать частью наклонной плоскости и применить к нему найденное правило.