Физика пространства - времени

Формулы (57) и (59) практически совпадают — разница состоит лишь в выборе единиц измерения времени. Заметим, что

_r

t

=

v_r

c

t

=

v

_r

t

c

=

v

_r

t

_сек

.

Подставляя это равенство, приведём формулу (57) к виду (59). Однако формулы (58) и (60) нельзя привести к одному и тому же виду одной лишь заменой единиц измерения! Запишите формулу (58) так, чтобы в неё входили v_r и t_сек. Для этого достаточно разделить обе её стороны на c и учесть, что t/c=t_сек :

t

_сек

'

=-

v_r

c

·

x

c

+

t

_сек

=

t

_сек

-

x

v_r

c^2

.

(58')

Формула (58') отличается от формулы (60) в тексте членом xv_r/c^2, которым можно в большинстве случаев пренебречь, так как обычно скорость v_r намного меньше, чем скорость света c. Пример. Наибольшая скорость, с которой летал человек, достигается на искусственных спутниках Земли и примерно равна 30 000 км/час или 8000 м/сек. Наибольшее расстояние между космонавтом в спутнике и наблюдателем на Земле имеет место, когда наблюдатель находится на стороне Земли, противоположной положению спутника в этот момент. Тогда расстояние между ними примерно равно диаметру Земли — около 13·10 м. Таким образом, наибольшее значение члена xv_r/c^2, достигнутое до сих пор с участием наблюдателей, равно

(13·10

м

)

(8·10^3 м/сек)

(3·10 м/сек)^2

=

10

сек

.

Конечно, такой интервал времени доступен измерению современными средствами, но его едва ли понадобится измерять в ходе анализа экспериментов на спутниках хотя бы уже потому, что космонавт обычно поддерживает связь с наземным наблюдателем на обращённой к нему стороне планеты! ¹)

¹) После выхода в свет американских изданий книги Тейлора и Уилера и их сборника решений к упражнениям соотечественники авторов уже успели побывать на Луне. Взяв с форзаца книги величину расстояния от Земли до Луны и учтя, что первая космическая скорость на Луне составляет всего около 1700 м/сек, читатель найдёт, что член xv_r/c в формуле (58') и в данном случае остаётся меньше 10 сек, когда астронавты кружат по окололунной орбите. Первую космическую скорость для Луны можно получить, приравняв друг другу центростремительную силу лунного притяжения и центробежную силу, действующую при движении по круговой орбите:

v^2

R = G

M

R^2

(здесь уже произведено сокращение на величину массы космического корабля); в качестве R следует положить величину радиуса Луны, R=1740 км=1,74·10 м; масса Луны равна M=7,3·10^2^2 кг. Конечно, наибольшей скорости космический корабль достигает на обратном пути к Земле, при вхождении в её атмосферу, но тогда слишком мала величина x. — Прим. перев.

39. Пределы применимости преобразования Галилея

Найдём из табл. 8 приближённые выражения функций sh и ch с точностью до членов второго порядка:

sh

,

ch

1

+

2

(в первом случае поправка второго порядка просто равна нулю!). Вид формул (37) с точностью до членов второго порядка малости можно получить, имея в виду, что даже в этом приближении _rr. Тогда в этом втором приближении будем иметь

x'

=

x

1

+

_r^2

2

-

_r

r

,

t'

=-

_r

r

+

t

1

+

_r^2

2

.

Коэффициенты, входящие в эти уравнения, отличаются от коэффициентов в формулах (57) и (58) менее чем на 1%, если принять

_r^2

2

10^2

или

_r

^2

1

50

,

откуда приближённо получим

_r

1

7

,

что и требовалось получить.

При старте с места гоночный автомобиль развивает ускорение a=v/t=4 м/сек^2. Если поддерживать такое ускорение постоянным, то скорости v=(1/7)·3·10 м/сек можно достигнуть за срок примерно в t=v/a=10 сек, т.е. около 4 месяцев. Даже с ускорением 7g70 м/сек^2 для достижения этой скорости потребовалось бы около недели!

40. Столкновения в теории Ньютона и в теории относительности

В системе отсчёта ракеты частицы после столкновения разлетаются вдоль оси y со скоростями ±_r. В упражнении 20 было показано [формула (49)], что x- и y- компоненты скоростей этих частиц в лабораторной системе отсчёта будут равны

^x

=

th

_r

=

_r

,

^y

=

^y'

ch _r

=±

_r

ch _r

.

Тангенс угла a/2, образованного осью x и любым из этих двух векторов скорости в лабораторной системе отсчёта (см. рис. 53), даётся формулой

tg

2

=

^y

^x

=

1

ch _r

=

1-

_r

^2

.

Рис. 147.

Требуется найти величину малого угла /2 (рис. 147), который составляет разность между /4 радиан и /2, откуда получается сам угол как отклонение полного угла , образованного векторами скорости в лабораторной системе отсчёта, от прямого, т.е. от /2=90°. Из формулы 13 в табл. 8 найдём

tg

-

tg

tg

=

tg

-

=

4

2

.

2

4

2

1

+

tg

·

tg

4

2

Воспользовавшись полученным выше выражением для tg /2 и приняв во внимание, что tg /4=1, а также что для малых справедливо приближённое равенство tg /2/2, мы придём к формуле

2

=

1-1-_r^2

1+1-_r^2

1-(1-_r^2/2)

1-(1-_r^2/2)

=

_r^2/2

2-_r^2/2

_r^2

4

;

=

_r^2

2

,

где выражение 1-_r^2 было подвергнуто разложению по правилу бинома Ньютона, в котором мы оставили лишь два первых слагаемых. От нас требовалось выяснить, при каких _r угол не превышает 10^2 рад. Очевидно, это условие принимает вид

_r

^2

1

50

или

_r

1

7

.