Физика пространства - времени

E_фотон

E_фотон

=

3

4

.

С другой стороны, имеют место закон сохранения энергии

E

_фотон

+

m

=

E

_фотон

+

E

и релятивистское соотношение между энергией и импульсом для электрона

E

^2

-

P

^2

=

m^2

.

Из этих уравнений можно найти энергию падающего фотона

E

_фотон

=

4m

12

(проверку выполнения всех этих уравнений можно осуществить, используя следующие вспомогательные величины:

E

_фотон

=

3m

12

,

E

=

13m

12

,

p

=

5m

12

.

72. Энергия и частота фотона

а) В случае фотона, движущегося вдоль оси x, формулы преобразования энергии и импульса (78) сводятся к одному-единственному равенству

E'

=

E ch

_r

-

p sh

_r

=

E(ch

_r

-

sh

_r

)

=

Ee

^_r

,

где мы учли формальные определения функций ch и sh , приведённые в табл. 8.

б) Нулевая вспышка (n=0) проходит через начало координат в момент t=0, и её распространение описывается в дальнейшем уравнением x=t, т.е. t-x=0. Вспышка № 1 (n=1) проходит через начало координат в момент t=c/, так что величина её x-координаты всегда на c/ меньше, чем этой же координаты нулевой вспышки:

x

=

t

-

c

т.е.

1

=

c

(t-x)

.

Вспышка № n проходит через начало координат в момент nc/, и её x-координата всегда на nc/ меньше, чем у нулевой вспышки: x=t-nc/, т.е. n=/c·(t-x).

Это и есть то уравнение, которое требовалось получить. Свет распространяется с одной и той же скоростью c и в лабораторной системе отсчёта, и в системе ракеты, так что те же рассуждения, взятые в применении к системе отсчёта ракеты, дают уравнение

n

=

'

c

(t'-x')

.

Подставим сюда значения t' и x' из формул преобразования Лоренца; мы получим

n

=

'

c

(t-x)(

ch

 

_r

+

sh

 

_r

),

n

=

'

c

(t-x)

e

^_r

.

Приравнивая друг другу выражения для n, полученные в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты, найдём

'

=

e

^_r

.

в) Равенства, полученные в частях а) и б) этого упражнения, выглядят одинаково, и это говорит за то, что энергия фотона E пропорциональна его классической частоте (как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты). Коэффициент пропорциональности определяется на основании других экспериментов, которых мы здесь не касаемся; окончательно получим

E

=

h

c^2

.

Умножая энергию, выраженную в единицах массы, на квадрат скорости света, получим E_обычн — энергию, измеренную в обычных единицах (см. разд. 10 гл. 2):

E

_обычн

=

h

.

г) Если это последнее соотношение подставить в формулу, описывающую эффект Комптона (упражнение 70), то получится формула (116).

73. Гравитационное красное смещение

а) Работа, затрачиваемая на единицу массы при переходе от r к r+dr, выражается формулой (117) и представляет собой вклад в потенциальную энергию частицы. Вблизи поверхности Земли rr_Земля, и мы получим

dW

m

=

m*

r_Земля^2

dr

=

g*

dr

.

Подставляя g10 м/сек^2 приближённо найдём

g*

=

g

c^2

10 м/сек^2

9·10^1 м^2/сек^2

10^1

м

/

м

^2

,

так что относительное изменение массы покоя частицы при подъёме на 170 м равно

dW

m

1,7·10^1

2·10^1

.

б) Отношение же полной работы к массе даётся формулой (118); если взять в ней в качестве m* массу Земли, равную 4,4·10^3 м, а за исходный радиус принять радиус Земли r_Земля мы получим

W

m

=

m*

r_Земля

4,4·10^3 м

6,7·10 м

7·10^1

.

Отношения, полученные в частях а) и б) этого упражнения, не включают в правой стороне самую массу поднимающейся частицы.

в) Заменяя в формуле, полученной в части a), dr на z, а dW/m — на отношение (изменение энергии)/(полная энергия), получим, учитывая формулу (115), требуемый результат. Знак минус в нем появился ввиду того, что изменение энергии отрицательно (она уменьшается с высотой) ¹.

¹ В отличие от кинетической энергии, потенциальная энергия пробной массы в гравитационном поле с точки зрения теории Ньютона всегда отрицательна и обращается в нуль на бесконечности, где поле отсутствует; таким образом, энергия возрастает с высотой. Авторы в действительности имеют в виду работу, необходимую для удаления массы из гравитационного поля, равную по абсолютной величине потенциальной энергии этой массы, но обратную ей по знаку. Возрастание потенциальной энергии с высотой отражает тот факт, что гравитация создает силы притяжения, а не отталкивания между массами (по принципу минимума энергии).— Прим. перев.

г) Формула (119) непосредственно следует из ответа на часть б) этого упражнения. Для Земли (M*=4,44·10^3 м, r_Земля6,7·10 м) относительная величина гравитационного красного смещения равна

Земля

-7·10^1

,

т.е. численно совпадает с ответом на часть б). Для Солнца (M*=1,47·10^3 м, r_Солнце7·10 м) относительная величина гравитационного красного смещения равна

Солнце

-2·10

.

74. Плотность спутника Сириуса

Из формулы (119) следует величина радиуса

r

=

M*

-/

=

1,5·10^3 м

7·10

2·10

м

(менее одной трети радиуса Земли!). Плотность равна

M

=

2·10^3

кг

6·10^1

кг

/

м

^3

=

6·10

г

/

см

^3

4

r^2

4·8·10^1

м

^3

3

— в шестьдесят миллионов раз больше плотности воды!

75. Формулы Допплера

а) В системе отсчёта ракеты

p'

^x

=

p' cos ',

p'

^y

=

p' sin '.

Подставляя эти выражения для компонент импульса в формулы преобразования Лоренца (78), найдём

E'

=

-p

cos

sh

_r

+

E

ch

_r

,

p'cos '

=

p

cos

sh

_r

-

E

ch

_r

,

p'sin '

=

p

sin

.