Физика пространства - времени

22**. Эффект «прожектора»

Световая вспышка испущена под углом ' к оси x' в системе отсчёта ракеты. Показать, что угол направления распространения этой вспышки по отношению к оси x в лабораторной системе отсчёта даётся уравнением

cos

=

cos '+_r

1+_rcos '

.

(50)

Показать, что этот результат можно получить из решения предыдущего упражнения, положив в нем скорость ' равной единице. Рассмотрите затем частицу, покоящуюся в системе отсчёта ракеты и равномерно излучающую свет во всех направлениях. Рассмотрите те 50% света, которые эта частица излучает в переднюю полусферу в системе отсчёта ракеты. Примите также, что ракета движется относительно лабораторной системы отсчёта весьма быстро. Требуется показать, что в лабораторной системе отсчёта этот свет сконцентрируется в узкий конус, направленный вперёд по движению, с осью, совпадающей с направлением движения частицы. Это явление называется эффектом «прожектора».

В. ЗАГАДКИ И ПАРАДОКСЫ

23. Парадокс эйнштейновского поезда — подробный пример

Пусть на поезде, движущемся со скоростью _r, близкой к единице, едут три человека (A, O и B). A едет в голове поезда, O в середине, а B — в хвосте (рис. 39). На земле около железнодорожного пути стоит четвёртый человек, O'. В тот самый момент, когда O проезжает мимо O', сигналы ламп вспышек от A и B достигают O и O'. Кто первым послал сигнал? Пользуясь только тем фактом, что скорость света конечна и не зависит от скорости движения его источника, покажите, что O и O' ответят на этот вопрос по-разному. Найдя качественное решение задачи, вычислите количественно разницу между моментами времени, когда послали сигналы A и B, наблюдаемую в системе отсчёта поезда (t_BA) и в системе отсчёта O' (t_BA'); пользуясь преобразованием Лоренца или другим путём.

Рис. 39. Кто подал сигнал первым — путешественник A или путешественник B?

Решение. Наблюдатели A и B покоятся относительно наблюдателя O. К тому же они находятся на равных расстояниях от O, что последний может не спеша проверить, пользуясь своей линейкой. Следовательно, сигналам от A и от B требуется одно и то же время, чтобы достигнуть O. Эти сигналы принимаются наблюдателем O. одновременно. Поэтому наблюдатель O заключает, что наблюдатели A и B послали свои сигналы в один и тот же момент: t_BA=0.

Наблюдатель O', стоящий рядом с железнодорожными путями, делает совершенно иные выводы. Его рассуждения таковы: «Две вспышки пришли ко мне, когда середина поезда проходила мимо меня. Значит, обе эти вспышки должны быть испущены до того, как середина поезда поравнялась со мной. А до этого момента наблюдатель A был ко мне ближе, чем наблюдатель B. Поэтому свет от B должен был пройти до меня более длинный путь и затратить на это большее время, чем свет от A. Но оба сигнала поступили ко мне одновременно. Следовательно, наблюдатель B должен был послать свой сигнал раньше, чем наблюдатель A» (t_BA=t_B'-t_A'). Итак, наблюдатель O', стоящий рядом с железнодорожными путями, делает заключение, что сначала послал свои сигнал B, а потом уже', A тогда как едущий на поезде наблюдатель O заключает, что оба наблюдателя, A и B, послали сигналы в одно и то же время.

Чему равен промежуток времени между посылкой сигналов наблюдателями A и B? В нештрихованной системе отсчёта (поезд) эти сигналы были отправлены одновременно, так что t=0. Расстояние между точками посылки сигналов равно x=x_BA=x_B-x_A=L, где L — длина поезда. Поэтому в штрихованной системе отсчёта (движущейся вправо по отношению к нештрихованной системе, то есть поезду, как это бывает обычно при использовании штрихованных и нештрихованных обозначений) промежуток времени между посылкой сигналов A и B можно найти по формулам преобразования Лоренца:

t'

=-

x sh

_r

+

t ch

_r

,

t'

=-

L sh

_r

=-

L_r

1-_r^2

.

Знак «минус» показывает, что наблюдатель B, находящийся на положительной части оси x', отправил свой сигнал раньше по «ракетному» времени (более отрицательное время!), чем наблюдатель A.

24. Загадка Эйнштейна

Когда Эйнштейн был ребёнком, он ломал голову над такой загадкой: пусть бегун смотрит на себя в зеркало, которое он держит перед собой в вытянутой руке; если он бежит почти со скоростью света, сможет ли он увидеть себя в зеркале? Разберите этот вопрос в рамках теории относительности.

25*. Парадокс шеста и сарая